# 两个正态总体方差比检验

## 定义

设两组样本分别独立取自正态总体 $N(\mu_1,\sigma_1^2)$、$N(\mu_2,\sigma_2^2)$，样本量为 $n_1,n_2$，样本均值和方差分别记为 $\bar X,\bar Y,S_1^2,S_2^2$。检验以第一组减第二组或第一组除第二组的顺序书写。

## 性质

检验 $H_0:\sigma_1^2/\sigma_2^2=r_0$，使用

$$
F=\frac{S_1^2/S_2^2}{r_0}\sim F(n_1-1,n_2-1).
$$

检验方差相等时 $r_0=1$，统计量就是两个样本方差之比。记 $\nu_1=n_1-1$、$\nu_2=n_2-1$，拒绝域为

* 双侧 $\sigma_1^2/\sigma_2^2\ne r_0$：$F<F_{1-\alpha/2}(\nu_1,\nu_2)$ 或 $F>F_{\alpha/2}(\nu_1,\nu_2)$；
* 右侧 $\sigma_1^2/\sigma_2^2>r_0$：$F>F_{\alpha}(\nu_1,\nu_2)$；
* 左侧 $\sigma_1^2/\sigma_2^2<r_0$：$F<F_{1-\alpha}(\nu_1,\nu_2)$。

$F$ 分布不对称，双侧检验必须分别取左右两个临界值，不能写成“绝对值超过某个临界值”。若手头的表只给上侧分位点，用

$$
F_{1-\alpha}(\nu_1,\nu_2)=\frac{1}{F_{\alpha}(\nu_2,\nu_1)}
$$

换算，两个自由度要同时交换位置。

> [!CAUTION]
> **交换分子分母要整套改**
>
> 若把统计量改成 $S_2^2/S_1^2$，自由度随之变成 $F(n_2-1,n_1-1)$，所检验的比值也变成 $\sigma_2^2/\sigma_1^2$，临界值的左右方向同样要跟着换。只换其中一项，结论就会反过来。双侧检验中为了查表而把较大的样本方差放到分子时，也要按 $\alpha/2$ 而不是 $\alpha$ 取临界值。

> [!WARNING]
> **F检验对非正态很敏感，“先F后t”不是固定流程**
>
> 两个正态总体方差比的 $F$ 分布结论依赖正态性；总体偏离正态时，它的实际显著性水平可能明显偏离名义水平，因此“未拒绝方差相等”不等于证明了方差相等。先做 $F$ 检验、再按结果选合并 $t$ 或Welch，是一套常见做法，但不是无条件正确的固定流程：方差相等这一信息往往来自专业背景而不是数据预检，预检之后再选检验还会改变第二类错误。更稳妥的做法是直接使用不假定方差相等的Welch检验。

## 例子

**方差比的 $F$ 检验**

两个独立正态样本，$n_1=n_2=10$，$s_1^2=9$，$s_2^2=2$。检验 $H_0:\sigma_1^2=\sigma_2^2$ 对 $H_1:\sigma_1^2\ne\sigma_2^2$，取 $\alpha=0.05$。

$$
F=\frac{s_1^2}{s_2^2}=\frac{9}{2}=4.5,
\qquad
F\sim F(9,9).
$$

上侧临界值 $F_{0.025}(9,9)\approx4.03$，下侧临界值 $F_{0.975}(9,9)=1/F_{0.025}(9,9)\approx0.248$。$4.5$ 超过上侧临界值，拒绝 $H_0$，认为两个总体方差不等。

若把两个样本对调，统计量变成 $F'=2/9\approx0.222$，它小于 $0.248$，在同一套双侧设定下同样拒绝 $H_0$。这说明交换分子分母后结论不变，但自由度顺序和比较的比值都要一起改。

## 探索

交互演示：两组方差的顺序如何影响F统计量？。调整两组样本方差，查看比值。 请在站点操作演示。