# 伯努利比例的Wald区间

## 定义与构造

以下区间以 $1-\alpha$ 为置信水平，分位点采用[上侧分位点约定](/knowledge/maths/statistics/upper-tail-quantile/)。

设每次独立伯努利试验的成功概率为 $p$，$N$ 为 $n$ 次试验中的成功次数，$\hat p=N/n$。常见的大样本Wald区间为

$$
p\in\hat p\pm z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}}.
$$

它在小样本或 $p$ 接近 $0,1$ 时覆盖率可能明显低于名义水平，端点还可能越出 $[0,1]$。此时应采用Wilson区间或精确二项区间；只把越界端点截断到 $[0,1]$，并不能恢复覆盖率。

## 探索

交互演示：Wald比例区间在边界附近有什么问题？。线段表示Wald区间，圆点表示样本比例，虚线标出零和一。 请在站点操作演示。