# 和差角与三角恒等变形

## 公式

以下公式都在各函数有定义时成立；正切公式还要求分母不为零。

### 两角和差

$$
\begin{aligned}
\sin(\alpha\pm\beta)&=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta,\\
\cos(\alpha\pm\beta)&=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta,\\
\tan(\alpha\pm\beta)&=\frac{\tan\alpha\pm\tan\beta}{1\mp\tan\alpha\tan\beta}.
\end{aligned}
$$

正切公式要求 $\cos\alpha\cos\beta\ne 0$，且对应分母 $1-\tan\alpha\tan\beta$ 或 $1+\tan\alpha\tan\beta$ 不为零。

### 和差化积

$$
\begin{aligned}
\sin\alpha+\sin\beta&=2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2},\\
\sin\alpha-\sin\beta&=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2},\\
\cos\alpha+\cos\beta&=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2},\\
\cos\alpha-\cos\beta&=-2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}.
\end{aligned}
$$

### 积化和差

$$
\begin{aligned}
\sin\alpha\cos\beta&=\frac{1}{2}\left[\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)\right],\\
\cos\alpha\sin\beta&=\frac{1}{2}\left[\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)\right],\\
\cos\alpha\cos\beta&=\frac{1}{2}\left[\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)\right],\\
\sin\alpha\sin\beta&=\frac{1}{2}\left[\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)\right].
\end{aligned}
$$

> [!TIP]
> 和差化积与积化和差都可以由两角和差公式推出。记不住时，先把 $\sin(\alpha+\beta)$ 与 $\sin(\alpha-\beta)$ 相加或相减，再令 $\alpha=\dfrac{u+v}{2}$、$\beta=\dfrac{u-v}{2}$，比硬背可靠。

### 倍角

$$
\begin{aligned}
\sin 2\alpha&=2\sin\alpha\cos\alpha,\\
\cos 2\alpha&=\cos^{2}\alpha-\sin^{2}\alpha=2\cos^{2}\alpha-1=1-2\sin^{2}\alpha,\\
\tan 2\alpha&=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^{2}\alpha}.
\end{aligned}
$$

正切倍角公式要求 $\cos\alpha\ne 0$ 且 $1-\tan^{2}\alpha\ne 0$。

### 半角

$$
\begin{aligned}
\sin\frac{\alpha}{2}&=\pm\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}},\\
\cos\frac{\alpha}{2}&=\pm\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{2}},\\
\tan\frac{\alpha}{2}&=\pm\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}}
=\frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha}
=\frac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha}.
\end{aligned}
$$

> [!WARNING]
> 半角公式中根号前的符号由 $\dfrac{\alpha}{2}$ 所在象限决定，不能只看 $\alpha$ 的象限。此外，$\tan\dfrac{\alpha}{2}=\dfrac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha}$ 要求 $\cos\alpha\ne -1$，而 $\tan\dfrac{\alpha}{2}=\dfrac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha}$ 要求 $\sin\alpha\ne 0$。

### 降幂

| 原式               | 降幂结果                                      |
| :--------------- | :---------------------------------------- |
| $\sin^{2}\alpha$ | $\dfrac{1-\cos 2\alpha}{2}$               |
| $\cos^{2}\alpha$ | $\dfrac{1+\cos 2\alpha}{2}$               |
| $\sin^{3}\alpha$ | $\dfrac{3\sin\alpha-\sin 3\alpha}{4}$     |
| $\cos^{3}\alpha$ | $\dfrac{3\cos\alpha+\cos 3\alpha}{4}$     |
| $\sin^{4}\alpha$ | $\dfrac{3-4\cos 2\alpha+\cos 4\alpha}{8}$ |
| $\cos^{4}\alpha$ | $\dfrac{3+4\cos 2\alpha+\cos 4\alpha}{8}$ |

更高次幂可以反复使用倍角公式降幂，也可以借助欧拉公式把正弦、余弦写成复指数再展开，或按傅里叶系数的做法推广。

### 化简与求值

1. **统一角**

   用诱导公式把角化到同一个角或锐角，减少同时出现的角。

2. **统一函数名**

   把正切、余切化为正弦、余弦，或反过来把正弦、余弦化为正切；后者要注意 $\cos\alpha\ne 0$。

3. **选择公式**

   两个角的和差用和差角公式展开；同角的高次幂用降幂公式；正弦、余弦的和差考虑和差化积；三角函数的乘积考虑积化和差。

4. **检验符号与定义域**

   用特殊值回代检查符号，并确认每一步用到的函数都有定义、分母不为零。

## 例子

**已知正弦值求二倍角**

已知 $\sin\alpha=\dfrac{3}{5}$，$\alpha\in\left(\dfrac{\pi}{2},\pi\right)$，求 $\cos 2\alpha$ 与 $\sin 2\alpha$。

因为 $\alpha$ 在第二象限，所以

$$
\cos\alpha=-\sqrt{1-\sin^{2}\alpha}=-\frac{4}{5}.
$$

于是

$$
\cos 2\alpha=1-2\sin^{2}\alpha=1-2\cdot\frac{9}{25}=\frac{7}{25},
$$

$$
\sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha=2\cdot\frac{3}{5}\cdot\left(-\frac{4}{5}\right)=-\frac{24}{25}.
$$

## 探索

交互演示：正弦的和角公式如何对应？。在单位圆上比较两个角、合角终点的纵坐标与公式两边。 请在站点操作演示。

## 练习

1. 下列等式在定义域内恒成立的有：

   * A.  $\cos 2\alpha=2\cos^{2}\alpha-1$
   * B.  $\cos 2\alpha=1-2\sin^{2}\alpha$
   * C.  $\cos 2\alpha=\cos^{2}\alpha-\sin^{2}\alpha$
   * D.  $\cos 2\alpha=2\sin^{2}\alpha-1$

   答案：A、B、C

   前三个都是二倍角余弦的常用形式；最后一个的符号相反，应为 $1-2\sin^{2}\alpha$。