# 角与三角函数

## 定义

### 角度与弧度

角度制用 $360^{\circ}$ 表示一整周。弧度制用弧长与半径之比度量角的大小，两种单位的换算关系为

$$
360^{\circ}=2\pi,\qquad 180^{\circ}=\pi.
$$

因此

$$
1^{\circ}=\frac{\pi}{180},\qquad 1\ \text{rad}=\frac{180^{\circ}}{\pi}\approx 57.3^{\circ}.
$$

### 六个三角函数

设角 $\alpha$ 的终边经过点 $(x,y)$（$x$、$y$ 不同时为零），该点到原点的距离为

$$
r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}>0.
$$

六个三角函数定义为：

| 函数              | 定义             | 有定义的条件                       |
| :-------------- | :------------- | :--------------------------- |
| 正弦 $\sin\alpha$ | $\dfrac{y}{r}$ | 对任意角有定义                      |
| 余弦 $\cos\alpha$ | $\dfrac{x}{r}$ | 对任意角有定义                      |
| 正切 $\tan\alpha$ | $\dfrac{y}{x}$ | $x\ne 0$，即 $\cos\alpha\ne 0$ |
| 余切 $\cot\alpha$ | $\dfrac{x}{y}$ | $y\ne 0$，即 $\sin\alpha\ne 0$ |
| 正割 $\sec\alpha$ | $\dfrac{r}{x}$ | $\cos\alpha\ne 0$            |
| 余割 $\csc\alpha$ | $\dfrac{r}{y}$ | $\sin\alpha\ne 0$            |

其中正弦、余弦、正切是基础，正割、余割、余切分别是余弦、正弦、正切的倒数。

## 性质

六个函数的周期与奇偶性如下：

| 函数                                  | 周期     | 奇偶性                                           |
| :---------------------------------- | :----- | :-------------------------------------------- |
| $\sin x$、$\cos x$、$\sec x$、$\csc x$ | $2\pi$ | $\sin x$、$\csc x$ 为奇函数；$\cos x$、$\sec x$ 为偶函数 |
| $\tan x$、$\cot x$                   | $\pi$  | 均为奇函数                                         |

把角 $\alpha$ 看作锐角时，终边所在象限决定各函数的符号：

| 象限   | $\sin$、$\csc$ | $\cos$、$\sec$ | $\tan$、$\cot$ |
| :--- | :-----------: | :-----------: | :-----------: |
| 第一象限 |      $+$      |      $+$      |      $+$      |
| 第二象限 |      $+$      |      $-$      |      $-$      |
| 第三象限 |      $-$      |      $-$      |      $+$      |
| 第四象限 |      $-$      |      $+$      |      $-$      |

> [!TIP]
> 记忆符号时先看终边所在象限，再分别看横、纵坐标的符号：正弦看纵坐标，余弦看横坐标，正切看两者之比。

单位圆上的投影与定义域的关系见[交互探索](#exploration)；同角关系与诱导公式见[同角关系与诱导公式](/knowledge/maths/trigonometry/basic-identities/)；和差角等变形见[和差角与三角恒等变形](/knowledge/maths/trigonometry/angle-transformations/)。

## 例子

**特殊角的正弦与余弦**

$\dfrac{\pi}{6}=30^{\circ}$，所以

$$
\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2},\qquad
\cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}.
$$

这两个值也可以由单位圆上终边的坐标直接读出。

## 练习

1. $\sin\dfrac{\pi}{6}=$ \_\_\_\_\_\_（value）。

   答案：0.5

   $\dfrac{\pi}{6}=30^{\circ}$，所以 $\sin\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{1}{2}=0.5$。

2. 若 $\alpha$ 是第二象限角，下列函数值为正的是：

   * A.  $\sin\alpha$
   * B.  $\cos\alpha$
   * C.  $\tan\alpha$
   * D.  $\cot\alpha$

   答案：A

   第二象限中纵坐标为正、横坐标为负，所以正弦为正，余弦为负，正切与余切都为负。

## 交互探索

交互演示：角怎样决定正弦与余弦？。旋转单位圆上的终边，观察余弦、正弦的投影与象限符号。 请在站点操作演示。

> [!NOTE]
> 观察什么
>
> 旋转终边，比较横坐标、纵坐标与 $\cos\alpha$、$\sin\alpha$ 的符号；终边越过坐标轴时，两个投影的符号随之改变。