# 同角三角函数关系

## 定义

倒数关系：

$$
\csc\alpha=\frac{1}{\sin\alpha},\qquad
\sec\alpha=\frac{1}{\cos\alpha},\qquad
\cot\alpha=\frac{1}{\tan\alpha}.
$$

平方关系：

$$
\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha=1,\qquad
\sec^{2}\alpha-\tan^{2}\alpha=1,\qquad
\csc^{2}\alpha-\cot^{2}\alpha=1.
$$

后两式也常写成 $1+\tan^{2}\alpha=\sec^{2}\alpha$ 与 $1+\cot^{2}\alpha=\csc^{2}\alpha$。

商数关系：

$$
\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha},\qquad
\cot\alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}.
$$

> [!NOTE]
> $\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha=1$ 对任意角成立；$\sec^{2}\alpha-\tan^{2}\alpha=1$ 要求 $\cos\alpha\ne 0$，$\csc^{2}\alpha-\cot^{2}\alpha=1$ 要求 $\sin\alpha\ne 0$。两个商数关系也分别要求分母不为零。

## 探索

交互演示：同一个角的三角函数有什么关系？。改变角度，观察平方关系与商数关系。 请在站点操作演示。

## 练习

1. 对任意角 $\alpha$，下列等式在定义域内恒成立的有：

   * A.  $\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha=1$
   * B.  $1+\tan^{2}\alpha=\sec^{2}\alpha$
   * C.  $\tan\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$
   * D.  $\sin^{2}\alpha-\cos^{2}\alpha=1$

   答案：A、B、C

   前三个是同角基本关系；第四个应为 $\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha=1$。