# 三角函数的导数与积分

## 公式

### 导数公式

以下公式只在自变量以弧度为单位时成立；若题目给出角度制，应先换算为弧度。

| 函数 $f(x)$                 | 导函数 $f'(x)$                        | 条件                 |
| :------------------------ | :--------------------------------- | :----------------- |
| $\sin x$                  | $\cos x$                           | —                  |
| $\cos x$                  | $-\sin x$                          | —                  |
| $\tan x$                  | $\sec^{2}x=\dfrac{1}{\cos^{2}x}$   | $\cos x\ne 0$      |
| $\cot x$                  | $-\csc^{2}x=-\dfrac{1}{\sin^{2}x}$ | $\sin x\ne 0$      |
| $\sec x$                  | $\sec x\tan x$                     | $\cos x\ne 0$      |
| $\csc x$                  | $-\csc x\cot x$                    | $\sin x\ne 0$      |
| $\arcsin x$               | $\dfrac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}$        | $\lvert x\rvert<1$ |
| $\arccos x$               | $-\dfrac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}$       | $\lvert x\rvert<1$ |
| $\arctan x$               | $\dfrac{1}{1+x^{2}}$               | —                  |
| $\operatorname{arccot} x$ | $-\dfrac{1}{1+x^{2}}$              | —                  |

### 积分公式

常用的三角函数积分表如下：

| 积分                           | 结果                               | 备注                       |
| :--------------------------- | :------------------------------- | :----------------------- |
| $\int\sin x\,\mathrm{d}x$    | $-\cos x+C$                      | —                        |
| $\int\cos x\,\mathrm{d}x$    | $\sin x+C$                       | —                        |
| $\int\sec^{2}x\,\mathrm{d}x$ | $\tan x+C$                       | —                        |
| $\int\csc^{2}x\,\mathrm{d}x$ | $-\cot x+C$                      | —                        |
| $\int\tan x\,\mathrm{d}x$    | $-\ln\lvert\cos x\rvert+C$       | 凑微分 $\mathrm{d}(\cos x)$ |
| $\int\cot x\,\mathrm{d}x$    | $\ln\lvert\sin x\rvert+C$        | 凑微分 $\mathrm{d}(\sin x)$ |
| $\int\sec x\,\mathrm{d}x$    | $\ln\lvert\sec x+\tan x\rvert+C$ | —                        |
| $\int\csc x\,\mathrm{d}x$    | $\ln\lvert\csc x-\cot x\rvert+C$ | —                        |

> [!WARNING]
> 积分结果中的 $C$ 是任意常数；对数项内的表达式要保留绝对值。求导可以检验积分结果，但不要遗漏定义域的限制。

## 例子

**求导与积分**

$$
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\tan x\right)=\sec^{2}x,\qquad
\int\left(\sin x+\sec^{2}x\right)\mathrm{d}x=-\cos x+\tan x+C.
$$

第二个结果逐项使用基本积分表，再对结果求导即可检验。

## 练习

1. $\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\arctan x=$

   * A.  $\dfrac{1}{1+x^{2}}$
   * B.  $-\dfrac{1}{1+x^{2}}$
   * C.  $\dfrac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}$
   * D.  $\dfrac{x}{1+x^{2}}$

   答案：A

   反正切的导数是 $\dfrac{1}{1+x^{2}}$；$\arccos x$ 的导数才带负号，$\arcsin x$ 的导数带根号。

## 交互探索

交互演示：正弦曲线的切线斜率是什么？。移动正弦曲线上的切点，比较切线斜率与余弦值。 请在站点操作演示。

> [!NOTE]
> 观察什么
>
> 移动正弦曲线上的切点，切线斜率随位置变化。把斜率与同一点的余弦值比较，就能看出 $(\sin x)'=\cos x$。