# 反三角函数

## 定义

反三角函数取主值分支，定义域和值域如下：

| 函数                        | 定义域                 | 值域                                            |
| :------------------------ | :------------------ | :-------------------------------------------- |
| $\arcsin x$               | $[-1,1]$            | $\left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right]$ |
| $\arccos x$               | $[-1,1]$            | $[0,\pi]$                                     |
| $\arctan x$               | $(-\infty,+\infty)$ | $\left(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right)$ |
| $\operatorname{arccot} x$ | $(-\infty,+\infty)$ | $(0,\pi)$                                     |

同一主值分支下，

$$
\arcsin x+\arccos x=\frac{\pi}{2}\quad(\lvert x\rvert\le 1),\qquad
\arctan x+\operatorname{arccot} x=\frac{\pi}{2}.
$$

反三角函数回答的是“哪个主值区间内的角，其正弦、余弦或正切等于给定值”。同一个三角函数值通常对应无穷多个角，主值分支只取其中一段连续区间，保证反函数单值。

## 性质

* $\arcsin x$ 的值域是 $\left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right]$，在端点处取到 $\pm\dfrac{\pi}{2}$。
* $\arccos x$ 的值域是 $[0,\pi]$，因此 $\arccos x$ 非负；$\arccos(-x)=\pi-\arccos x$。
* $\arctan x$ 的值域是 $\left(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right)$，$\arctan(-x)=-\arctan x$。
* 反三角函数与三角函数复合时，只有角落在主值区间内才能直接消去；否则要先用诱导公式把角化到主值区间。

> [!WARNING]
> $\arcsin(\sin x)=x$ 只在 $x\in\left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right]$ 时成立；超出这个范围时，要先用诱导公式把角化到主值区间。例如 $\arcsin\left(\sin\dfrac{5\pi}{6}\right)=\arcsin\dfrac{1}{2}=\dfrac{\pi}{6}$，而不是 $\dfrac{5\pi}{6}$。

## 例子

**反三角函数求值**

$$
\arctan 1+\arcsin\frac{1}{2}=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{6}=\frac{5\pi}{12}.
$$

**先化到主值区间**

$$
\arccos\left(\cos\frac{5\pi}{3}\right)
=\arccos\frac{1}{2}
=\frac{\pi}{3}.
$$

这里 $\dfrac{5\pi}{3}$ 不在 $\arccos$ 的主值区间 $[0,\pi]$ 内，所以不能直接写成 $\dfrac{5\pi}{3}$。

## 练习

1. $\arcsin\dfrac{1}{2}=$

   * A.  $\dfrac{\pi}{6}$
   * B.  $\dfrac{5\pi}{6}$
   * C.  $\dfrac{\pi}{3}$
   * D.  $-\dfrac{\pi}{6}$

   答案：A

   $\arcsin$ 的主值区间是 $\left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right]$，其中正弦为 $\dfrac{1}{2}$ 的角是 $\dfrac{\pi}{6}$。

2. $\arccos x$ 的值域是：

   * A.  $\left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right]$
   * B.  $[0,\pi]$
   * C.  $(-\infty,+\infty)$
   * D.  $(0,\pi)$

   答案：B

   反余弦取主值分支 $[0,\pi]$，所以它的值不会是负角。

## 交互探索

交互演示：为什么arcsin只取一个角？。在单位圆上比较满足同一个正弦值的两个角，并观察主值分支的选择。 请在站点操作演示。

> [!NOTE]
> 观察什么
>
> 给定正弦值 $x$，单位圆上通常有两个角。实线点是 $\arcsin x$ 的主值，虚线点是另一个解 $\pi-\arcsin x$；主值分支只保留实线点所在的那一段。