# 三角函数的诱导公式

## 定义

把任意角的三角函数化为锐角三角函数，常用公式如下：

| 角                       | $\sin$        | $\cos$        | $\tan$        |
| :---------------------- | :------------ | :------------ | :------------ |
| $-\alpha$               | $-\sin\alpha$ | $\cos\alpha$  | $-\tan\alpha$ |
| $\pi-\alpha$            | $\sin\alpha$  | $-\cos\alpha$ | $-\tan\alpha$ |
| $\pi+\alpha$            | $-\sin\alpha$ | $-\cos\alpha$ | $\tan\alpha$  |
| $2\pi-\alpha$           | $-\sin\alpha$ | $\cos\alpha$  | $-\tan\alpha$ |
| $\dfrac{\pi}{2}-\alpha$ | $\cos\alpha$  | $\sin\alpha$  | $\cot\alpha$  |
| $\dfrac{\pi}{2}+\alpha$ | $\cos\alpha$  | $-\sin\alpha$ | $-\cot\alpha$ |

> [!TIP]
> 口诀“奇变偶不变，符号看象限”：把 $\alpha$ 看作锐角，先看角中 $\dfrac{\pi}{2}$ 的倍数是奇数还是偶数，决定函数名是否变成余名函数；再按新角所在象限确定符号。

## 例子

**用诱导公式求 $\sin\dfrac{7\pi}{6}$**

$$
\sin\frac{7\pi}{6}=\sin\left(\pi+\frac{\pi}{6}\right)=-\sin\frac{\pi}{6}=-\frac{1}{2}.
$$

## 探索

交互演示：改变角后正弦值怎样变化？。比较三个诱导公式的符号和函数名。 请在站点操作演示。

## 练习

1. $\sin(\pi+\alpha)=$

   * A.  $-\sin\alpha$
   * B.  $\sin\alpha$
   * C.  $\cos\alpha$
   * D.  $-\cos\alpha$

   答案：A

   $\pi+\alpha$ 的终边在第三象限，把 $\alpha$ 看作锐角时正弦为负；$\pi$ 是 $\dfrac{\pi}{2}$ 的偶数倍，函数名不变，所以结果为 $-\sin\alpha$。