二进制四则运算

$n$ 位无符号整数把全部位宽用于表示大小：第 $i$ 位（最低位为第0位）的权是 $2^i$，因此它表示 $0$ 到 $2^n-1$ 之间的全部整数，共 $2^n$ 个不同的值。位权与进制记号的由来见进制转换。

下文用固定位宽书写，$(0101)_2$ 表示4位二进制数 $0101$；下标2是底数，不属于数值。

加法从最低位起逐位相加，逢二进一：

• $1+1=(10)_2$：本位写0，向高位进1；
• $1+1+1=(11)_2$：本位写1，向高位进1。

所以竖式中每一列的输入是“两个加数位 + 低位送来的进位”，输出是“本位和 + 向高位的进位”，一次最多进1。

两个 $n$ 位无符号数相加，真实和最多需要 $n+1$ 位。若真实和超过 $2^n-1$，最高位的进位在 $n$ 位容器中放不下，被直接丢弃，容器里的结果等于真实和减去 $2^n$：计数从最大值回绕到0，再继续累加。这像只能正转的里程表，走到全1之后再走一格，显示回到全0。

乘数的每一位只有0和1，所以部分积只有两种：该位为1时，把被乘数抄下来并按位左移；该位为0时，整行为0。把各行的部分积相加即得乘积。

两个 $n$ 位无符号数相乘最多需要 $2n$ 位才一定放得下，因此在 $n$ 位容器里直接存放乘积可能被截断。

二进制长除法与十进制长除法相同：每轮把被除数的一位落下来，与除数比较，够除则商写1并减去除数，不够除则商写0。每一位的商只可能是0或1，所以“试商”退化成一次比较。

重复减法可以说明商和余数的含义：余数反复减去除数，能减几次商就是几。实际处理器可采用其他除法算法，不能仅据此判断具体执行代价。

调整两个四位无符号数，比较完整的加法结果与低四位。