浮点数与IEEE 754

二进制浮点数沿用科学计数法：先把数写成整数部分为一位的二进制小数，再乘以2的幂，即 $\pm(1.f)_2\times2^{e}$。IEEE 754把符号、指数、尾数三段装进定长字段，其中指数存成偏移后的 $E=e+127$（单精度），数值由下式还原：

32位单精度的字段划分如下。

写成位串时依次是S EEEEEEEE FFF…F，阶码在前、尾数在后。记尾数位为 $f_1f_2\cdots f_{23}$（$f_1$ 紧接小数点），则

这两个式子是换算的依据：先拆出三段，把阶码减127得到实际指数 $e$，再把尾数按 $2^{-1},2^{-2},\dots$ 展开，最后加上隐含的1。

指数可能是负的，例如 $2^{-3}$ 表示很小的数。如果阶码直接存带符号数，比较两个浮点数的大小时就得先看阶码的符号位，硬件无法把位串当作无符号整数直接比较。IEEE 754给指数统一加一个偏移：单精度 $E=e+127$，双精度 $E=e+1023$。这样阶码字段本身就是无符号整数，指数的大小顺序与位串的字典序一致。

单精度阶码8位，规格化数对应 $E=1\sim254$，即 $e=-126\sim127$；双精度阶码11位，对应 $e=-1022\sim1023$。

规格化之后整数部分总是1：整数部分若为0，左移一位、阶码加一即可；若大于1，则还没有规格化完。既然总是1，就不必存进尾数，省下一位。因此23位尾数实际提供24位有效数字，双精度的52位尾数提供53位。

范围由阶码决定，精度由尾数决定。单精度能表示的最大规格化数约为 $3.4\times10^{38}$，双精度约为 $1.8\times10^{308}$。C中的float、double分别对应这两种格式。

十进制小数转二进制时，若最简分数的分母含有2以外的质因子，展开就无限循环。$0.1$ 的二进制是 $0.0001100110011\ldots_2$，规格化后为 $1.100110011\ldots_2\times2^{-4}$，尾数需要无限多位。23位尾数只能截断或就近舍入，存进去的值与 $\frac{1}{10}$ 相差约 $1.5\times10^{-9}$。

运算中还要对齐阶码、对结果舍入，误差会逐步累积。例如：

print(0.1 + 0.2)          # 0.30000000000000004
print(0.1 + 0.2 == 0.3)   # False

第二行输出False，说明两个结果不相等。比较浮点数应写成 $|a-b|<\varepsilon$ 的形式，而不是直接用等号。