知识点

进制转换

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定义

一个 $r$ 进制数（ $r\ge 2$ ， $r$ 为整数）把数值写成数码串，每一位的数码取自 $0,1,\dots,r-1$ ，数码所在的位置决定它的位权。若整数部分有 $n$ 位、小数部分有 $m$ 位，则

(b_{n-1}\cdots b_1b_0.b_{-1}\cdots b_{-m})_r =\sum_{i=-m}^{n-1}b_i r^i .

第 $i$ 位的位权是 $r^i$ ：小数点左边从最低位起依次为 $r^0,r^1,r^2,\dots$ ，小数点右边依次为 $r^{-1},r^{-2},\dots$ 。最高位记作MSB，最低位记作LSB。

下标 $r$ 标注底数，十进制常省略下标。不写下标时，同一串数码可能对应不同的值：

(1011)_2=11,\qquad (1011)_8=521,\qquad (1011)_{16}=4113 .

进制	底数	可用数码
二进制	$2$	$0,1$
八进制	$8$	$0\sim 7$
十进制	$10$	$0\sim 9$
十六进制	$16$	$0\sim 9$ ， $A\sim F$ 分别表示 $10\sim 15$

性质

位权与移位

相邻两位的位权之比等于底数 $r$ 。对整数表示来说，在末尾补一个 $0$ ，数值乘以 $r$ ；删去末尾的一个 $0$ ，数值除以 $r$ 。二进制整数左移一位就是乘 $2$ ，右移一位就是除以 $2$ 取整。

整数部分与小数部分分别处理

按权展开式中，整数部分只出现非负幂，小数部分只出现负幂，两者互不影响。所以含小数点的数可以整数、小数分别转换，再按小数点位置拼接。

以 $2$ 的幂为底的进制

若 $r=2^k$ ，则每一位 $r$ 进制数码恰好对应 $k$ 位二进制数。因为 $8=2^3$ 、 $16=2^4$ ，二进制与八进制、十六进制可以按 $3$ 位或 $4$ 位分组直接互转。这种逐位对应只存在于底数为 $2$ 的幂的进制之间，十进制与八进制、十六进制之间没有。

转换方法

$r$ 进制转十进制

按位权展开，把每一位的数码乘以该位的位权后相加。整数部分用正幂，小数部分用负幂。

十进制整数转 $r$ 进制

除以 $r$ ，记下余数

用当前整数除以 $r$ ，余数就是当前最低位的数码。
用商继续

把商作为新的整数，重复上一步，直到商为 $0$ 。
逆序读取余数

最先得到的余数是最低位，最后得到的是最高位，从下往上读。

十进制小数转 $r$ 进制

乘以 $r$

用当前小数部分乘以 $r$ 。
取出整数部分

乘积的整数部分是当前小数位的数码，剩下的小数部分进入下一轮。十六进制中整数部分 $10\sim 15$ 要写成 $A\sim F$ 。
重复到终止

直到小数部分变为 $0$ ，或达到所需精度。取出的数码按先后顺序从左到右写出。

二进制与八进制、十六进制互转

以小数点为界，整数部分向左、小数部分向右分组：八进制每 $3$ 位一组，十六进制每 $4$ 位一组，每组换成对应的 $1$ 位八进制或十六进制数码。反方向转换时，把每一位八进制数码写成 $3$ 位二进制数、每一位十六进制数码写成 $4$ 位二进制数，再以小数点为界拼接，去掉整数部分的前导 $0$ 和小数部分的末尾 $0$ 。

八进制与十六进制的小数同样按位权展开，权分别为 $8^{-1},8^{-2},\dots$ 与 $16^{-1},16^{-2},\dots$ 。它们与十进制小数互转时，通常先换成二进制，再用分组法处理。

数位对应表

十进制	二进制	八进制	十六进制
0	0000	0	0
1	0001	1	1
2	0010	2	2
3	0011	3	3
4	0100	4	4
5	0101	5	5
6	0110	6	6
7	0111	7	7
8	1000	10	8
9	1001	11	9
10	1010	12	A
11	1011	13	B
12	1100	14	C
13	1101	15	D
14	1110	16	E
15	1111	17	F

例子

把 $(1101)_2$ 转换为十进制

1\times 2^3+1\times 2^2+0\times 2^1+1\times 2^0 =8+4+0+1=13 .

把 $13$ 转换为二进制

用 $13$ 反复除以 $2$ ，记录余数：

\begin{array}{r|rr} 2 & 13 & \dots 1 \\ \hline 2 & 6 & \dots 0 \\ \hline 2 & 3 & \dots 1 \\ \hline 2 & 1 & \dots 1 \\ \hline & 0 & \end{array}

从下往上读余数，得到 $(13)_{10}=(1101)_2$ 。

把 $12.625$ 转换为二进制

整数部分与小数部分分别转换，再拼接。

整数部分 $12$ ：按除 $2$ 取余， $12=1100_2$ 。
小数部分 $0.625$ ：
- $0.625\times 2=1.25$ ，取整 $1$ ，剩 $0.25$ ；
- $0.25\times 2=0.5$ ，取整 $0$ ，剩 $0.5$ ；
- $0.5\times 2=1.0$ ，取整 $1$ ，剩 $0$ ，结束。
按取出的顺序排列， $0.625=0.101_2$ 。

最终结果： $(12.625)_{10}=(1100.101)_2$ 。

把 $(1101.101)_2$ 转换为十进制

\begin{aligned} (1101.101)_2 &=\underbrace{1\times 2^3+1\times 2^2+0\times 2^1+1\times 2^0}_{\text{整数部分}} +\underbrace{1\times 2^{-1}+0\times 2^{-2}+1\times 2^{-3}}_{\text{小数部分}} \\ &=(8+4+0+1)+(0.5+0+0.125) \\ &=13+0.625=13.625 . \end{aligned}

把 $(110101)_2$ 转换为八进制

以小数点为界，向左每 $3$ 位一组：

(110101)_2 \rightarrow (110,\ 101)_2 \rightarrow (6,\ 5)_8 \rightarrow (65)_8 .

把 $(11101011)_2$ 转换为十六进制

以小数点为界，向左每 $4$ 位一组：

(11101011)_2 \rightarrow (1110,\ 1011)_2 \rightarrow (E,\ B)_{16} \rightarrow (EB)_{16} .

编程实现

下面的两个程序分别实现二进制转十进制和十进制整数转二进制。它们把上面的步骤写成循环：前者用不断折半的位权代替重复的指数运算，后者把余数插到列表头部来完成逆序。

二进制转十进制

1
b = input("Please enter a binary number:")
2
d = 0
3
weight = 2 ** (len(b) - 1)
4
for i in range(0, len(b)):
5
    if b[i] == "1":
6
        d = d + weight
7
    weight = weight // 2
8
    # ‘//’是整数除法
9
print(d)

如果每轮都在循环里重新计算 $2^k$ ，会多做大量乘法。改进后的写法只在循环外算一次最高位权 $2^{n-1}$ ，之后用整数除法把位权逐位折半，和按权展开的结果一致。注意只有数码为1的位需要累加。

十进制整数转二进制

1
x = int(input("Please enter a decimal number:"))
2
r = 0
3
Rs = []
4
while x != 0:
5
    r = x % 2
6
    x = x // 2
7
    Rs = [r] + Rs
8
for i in range(0, len(Rs)):
9
    # 从最高位到最低位依次输出；Rs[0] 是最高位。
10
    print(Rs[i], end="")

x % 2依次给出从低到高的各位，Rs = [r] + Rs把新余数放到列表头部，因此最后从Rs[0] 开始输出就是高位到低位，不需要再反转列表。

交互探索

选择整数和进制，比较数位、位权与表示结果。

同一个整数怎样用不同进制表示？

改变整数和进制，查看各数位及其位权。

正在准备演示…

题集

练习

$(1101.101)_2$ 的十进制值是。
参考解答
$8+4+0+1+0.5+0+0.125=13.625$ 。
十进制数 $25$ 的二进制表示是（只填数码，不写下标）。
参考解答
$25=16+8+1=2^4+2^3+2^0$ ，所以是 $11001_2$ 。
八进制数 $(65)_8$ 的十进制值是。
参考解答
$6\times 8^1+5\times 8^0=48+5=53$ 。
把 $(11101011)_2$ 写成十六进制，结果是：
选择答案
A
$(EB)_{16}$
B
$(BE)_{16}$
C
$(EA)_{16}$
D
$(E1B)_{16}$
参考解答
每 $4$ 位一组： $1110=E$ ， $1011=B$ ，所以是 $(EB)_{16}$ 。
下列关于进制转换的说法，正确的是：
选择答案
A
十进制小数 $0.1$ 的二进制表示是有限位的
B
十进制整数转二进制时，最先得到的余数是最高位
C
二进制转八进制时，以小数点为界每 $3$ 位一组，每组对应 $1$ 位八进制数
D
二进制转八进制时，小数部分不足一组应在左端补 $0$
参考解答
$0.1$ 的二进制展开无限循环；除 $2$ 取余时最先得到的是最低位；小数部分应在右端补 $0$ 。