课程笔记

2.2不同进制间的转换

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进制转换

位权与进制记号

一个 $r$ 进制数（ $r\ge 2$ ， $r$ 为整数）把数值写成数码串，每一位的数码取自 $0,1,\dots,r-1$ ，数码所在的位置决定它的位权。若整数部分有 $n$ 位、小数部分有 $m$ 位，则

(b_{n-1}\cdots b_1b_0.b_{-1}\cdots b_{-m})_r =\sum_{i=-m}^{n-1}b_i r^i .

第 $i$ 位的位权是 $r^i$ ：小数点左边从最低位起依次为 $r^0,r^1,r^2,\dots$ ，小数点右边依次为 $r^{-1},r^{-2},\dots$ 。最高位记作MSB，最低位记作LSB。

下标 $r$ 标注底数，十进制常省略下标。不写下标时，同一串数码可能对应不同的值：

(1011)_2=11,\qquad (1011)_8=521,\qquad (1011)_{16}=4113 .

进制	底数	可用数码
二进制	$2$	$0,1$
八进制	$8$	$0\sim 7$
十进制	$10$	$0\sim 9$
十六进制	$16$	$0\sim 9$ ， $A\sim F$ 分别表示 $10\sim 15$

来源：进制转换

进制写法统一用下标标明底数，十进制省略。题目中的数码常常不带下标，作答前先按题目指定的进制读。

换算的四个方向

$r$ 进制转十进制

按位权展开，把每一位的数码乘以该位的位权后相加。整数部分用正幂，小数部分用负幂。

十进制整数转 $r$ 进制

除以 $r$ ，记下余数

用当前整数除以 $r$ ，余数就是当前最低位的数码。
用商继续

把商作为新的整数，重复上一步，直到商为 $0$ 。
逆序读取余数

最先得到的余数是最低位，最后得到的是最高位，从下往上读。

十进制小数转 $r$ 进制

乘以 $r$

用当前小数部分乘以 $r$ 。
取出整数部分

乘积的整数部分是当前小数位的数码，剩下的小数部分进入下一轮。十六进制中整数部分 $10\sim 15$ 要写成 $A\sim F$ 。
重复到终止

直到小数部分变为 $0$ ，或达到所需精度。取出的数码按先后顺序从左到右写出。

二进制与八进制、十六进制互转

以小数点为界，整数部分向左、小数部分向右分组：八进制每 $3$ 位一组，十六进制每 $4$ 位一组，每组换成对应的 $1$ 位八进制或十六进制数码。反方向转换时，把每一位八进制数码写成 $3$ 位二进制数、每一位十六进制数码写成 $4$ 位二进制数，再以小数点为界拼接，去掉整数部分的前导 $0$ 和小数部分的末尾 $0$ 。

八进制与十六进制的小数同样按位权展开，权分别为 $8^{-1},8^{-2},\dots$ 与 $16^{-1},16^{-2},\dots$ 。它们与十进制小数互转时，通常先换成二进制，再用分组法处理。

数位对应表

十进制	二进制	八进制	十六进制
0	0000	0	0
1	0001	1	1
2	0010	2	2
3	0011	3	3
4	0100	4	4
5	0101	5	5
6	0110	6	6
7	0111	7	7
8	1000	10	8
9	1001	11	9
10	1010	12	A
11	1011	13	B
12	1100	14	C
13	1101	15	D
14	1110	16	E
15	1111	17	F

来源：进制转换

本节按“二进制与十进制 → 小数 → 二进制与八、十六进制”的次序展开。整数和小数的两个终止条件不同，下面的课程约定单独列出。

学习安排

本节先讲二进制与十进制的整数互转，再加入小数，最后用 $8=2^3$ 、 $16=2^4$ 把八进制和十六进制接到二进制上。按这个顺序学习，八进制与十六进制就是二进制分组后的另一种写法。

先练按权展开，确认位权从 $2^0$ 开始向两侧延伸；再练除 $2$ 取余和乘 $2$ 取整。
对应表不必死背，考试时按 $3$ 位、 $4$ 位分组现场推出即可；但 $0\sim 15$ 与A～F的对应要能快速写出。
教材的两个Python程序分别对应“位权逐位折半”和“余数插到列表头部”，读代码时把这两步和手算步骤对上。
本节只处理表示与换算；二进制四则运算、补码和浮点数留到下一节。

课程约定

进制用下标书写，例如 $(1101)_2$ ，十进制省略下标。作答时要标清进制，否则同一串数码可能被读成不同的值。
整数部分除到商为 $0$ 为止；小数部分乘到小数部分为 $0$ ，或乘到题目要求的精度为止。两个终止条件分别用于整数和小数，不能混用。
分组换算以小数点为界，整数部分向左分组，小数部分向右分组。

易错点

补 $0$ 只发生在分组时：整数在左端补，小数在右端补，方向弄反会直接算错。
除 $2$ 取余时，最先得到的余数是最低位，必须从下往上读。
像 $0.1$ 这样的十进制小数，二进制展开是无限循环的，只能按精度截断。
八进制、十六进制与十进制之间没有逐位对应关系，只有它们与二进制之间才能按 $3$ 位或 $4$ 位分组。