2.3计算机中的二进制四则运算

$n$ 位无符号整数把全部位宽用于表示大小：第 $i$ 位（最低位为第0位）的权是 $2^i$，因此它表示 $0$ 到 $2^n-1$ 之间的全部整数，共 $2^n$ 个不同的值。位权与进制记号的由来见进制转换。

下文用固定位宽书写，$(0101)_2$ 表示4位二进制数 $0101$；下标2是底数，不属于数值。

加法从最低位起逐位相加，逢二进一：

• $1+1=(10)_2$：本位写0，向高位进1；
• $1+1+1=(11)_2$：本位写1，向高位进1。

所以竖式中每一列的输入是“两个加数位 + 低位送来的进位”，输出是“本位和 + 向高位的进位”，一次最多进1。

设有 $n$ 位二进制容器，整数 $x$ 的取值范围是 $-2^{n-1}\le x\le 2^{n-1}-1$。$x$ 的补码编码规定为：$x\ge 0$ 时与 $x$ 的无符号二进制相同；$x<0$ 时取 $2^n+x$ 的 $n$ 位二进制。因为 $2^n+x=2^n-|x|$，负数的编码相当于从 $2^n$ 中减去它的绝对值。

补码也可以按位权读：最高位的权是 $-2^{n-1}$，其余位的权仍是正的 $2^i$，即

这解释了为什么最高位为1就代表负数，也说明最高位的权不是 $-1$ 而是 $-2^{n-1}$，这是按位读补码时最容易出错的地方。非负数的补码与无符号编码完全一致；同一串位按哪种规则解释，取决于变量的类型，而不是位串本身。

范围在负数一侧多一个数：$-2^{n-1}$ 有编码，而 $+2^{n-1}$ 没有。8位中1000 0000是 $-128$，1111 1111是 $-1$，0000 0000是0。无符号整数的位权与加法规则见二进制四则运算。

二进制浮点数沿用科学计数法：先把数写成整数部分为一位的二进制小数，再乘以2的幂，即 $\pm(1.f)_2\times2^{e}$。IEEE 754把符号、指数、尾数三段装进定长字段，其中指数存成偏移后的 $E=e+127$（单精度），数值由下式还原：

32位单精度的字段划分如下。

写成位串时依次是S EEEEEEEE FFF…F，阶码在前、尾数在后。记尾数位为 $f_1f_2\cdots f_{23}$（$f_1$ 紧接小数点），则

这两个式子是换算的依据：先拆出三段，把阶码减127得到实际指数 $e$，再把尾数按 $2^{-1},2^{-2},\dots$ 展开，最后加上隐含的1。