知识点

齐次方程

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定义

一阶微分方程

y'=f(x,y)

如果存在函数 $\varphi$ ，使得在 $x\ne 0$ 时

f(x,y)=\varphi\left(\frac{y}{x}\right),

则称它为齐次方程。写成 $\varphi\left(\dfrac{x}{y}\right)$ 也可以，因为 $\dfrac{x}{y}=1\big/\dfrac{y}{x}$ ，两种写法只差对 $\varphi$ 的重新定义。

等价的判定是： $f$ 为零次齐次函数，即对任意 $\lambda\ne 0$ ，

f(\lambda x,\lambda y)=f(x,y).

实际操作时，检查分子、分母中每一项关于 $x$ 与 $y$ 的总次数是否相同。例如

y'=\frac{x^2+y^2}{xy}

中，分子两项都是二次，分母 $xy$ 也是 $1+1=2$ 次；右端可写成

\frac{x}{y}+\frac{y}{x},

符合齐次方程的形式。

分子或分母中出现单独常数项时，方程一般不再是齐次方程，需要先尝试下文的平移变换。

确认形式

把方程整理成 $y'=\varphi\left(\dfrac{y}{x}\right)$ ，并确认讨论区间上 $x\ne 0$ 。
换元

令 $u=\dfrac{y}{x}$ ，即 $y=ux$ 。
求导

由乘积求导法则，
$y'=u+x\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}.$
代入并整理

将 $y'$ 与 $\dfrac{y}{x}$ 分别换成上式与 $u$ ：
$u+x\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=\varphi(u), \qquad x\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=\varphi(u)-u.$
分离变量并积分

当 $\varphi(u)-u\ne 0$ 时，
$\frac{\mathrm{d}u}{\varphi(u)-u}=\frac{\mathrm{d}x}{x},$
两边积分得到关于 $u$ 与 $x$ 的关系。
还原变量

把 $u$ 换回 $\dfrac{y}{x}$ ，整理成显式或隐式解。

换元后的方程关于 $u$ 与 $x$ 可分离，按可分离变量的微分方程的步骤积分即可。

形如

\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} =\frac{a_1x+b_1y+c_1}{a_2x+b_2y+c_2}

的方程，在 $c_1,c_2$ 不全为零时，可以通过平移坐标轴消去常数项，化为齐次方程。

先解方程组

\begin{cases} a_1x+b_1y+c_1=0,\\ a_2x+b_2y+c_2=0, \end{cases}

设交点为 $(h,k)$ 。令

X=x-h,\qquad Y=y-k,

则 $x=X+h$ 、 $y=Y+k$ ，代入后常数项抵消，方程变为

\frac{\mathrm{d}Y}{\mathrm{d}X} =\frac{a_1X+b_1Y}{a_2X+b_2Y},

这是关于 $X,Y$ 的齐次方程。求出解后，再把 $X=x-h$ 、 $Y=y-k$ 代回。

解 $(x^2+y^2)\,\mathrm{d}x-xy\,\mathrm{d}y=0$

先解出导数：

\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} =\frac{x^2+y^2}{xy} =\frac{x}{y}+\frac{y}{x}.

右端是 $\dfrac{y}{x}$ 的函数，所以方程是齐次的。

换元。 令 $u=\dfrac{y}{x}$ ，则 $y=ux$ ，且

y'=u+x\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}.

代入。 原方程变为

u+x\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=\frac{1}{u}+u.

两边消去 $u$ ，得

x\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=\frac{1}{u}.

分离并积分。

u\,\mathrm{d}u=\frac{\mathrm{d}x}{x}, \qquad \frac{1}{2}u^2=\ln\vert x\vert+C_1.

两边乘以 $2$ ，记 $C=2C_1$ ，得

u^2=2\ln\vert x\vert+C.

还原变量。 把 $u=\dfrac{y}{x}$ 代回：

\left(\frac{y}{x}\right)^2=2\ln\vert x\vert+C, \qquad y^2=x^2\left(2\ln\vert x\vert+C\right).

解 $y'=\dfrac{x+y}{x}$

右端等于 $1+\dfrac{y}{x}$ ，所以方程是齐次的。令 $u=\dfrac{y}{x}$ ，则 $y=ux$ ， $y'=u+xu'$ 。代入得

u+x\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=1+u,

消去 $u$ 后得到

x\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=1.

分离变量并积分：

\mathrm{d}u=\frac{\mathrm{d}x}{x}, \qquad u=\ln\vert x\vert+C.

还原 $u=\dfrac{y}{x}$ ，得通解

y=x\left(\ln\vert x\vert+C\right),\qquad x\ne 0.

用y′ = y/x展示齐次方程的代换。

正在准备演示…

题集

下列方程中，是齐次方程的是：
选择答案
A
$y'=\dfrac{x+y}{x}$
B
$y'=x+y$
C
$y'=x^2+y^2$
D
$y'=xy$
参考解答
$\dfrac{x+y}{x}=1+\dfrac{y}{x}$ ，右端只依赖 $\dfrac{y}{x}$ 。其余三个右端都不是零次齐次函数。
初值问题 $y'=\dfrac{x+y}{x}$ ， $y(1)=2$ 。其通解可写成 $y=x\left(\ln\vert x\vert+C\right)$ ，则 $C=$ 。
参考解答
代入 $x=1$ 、 $y=2$ ： $2=1\cdot(0+C)$ ，所以 $C=2$ 。
方程 $(x^2+y^2)\,\mathrm{d}x-xy\,\mathrm{d}y=0$ 的通解为 $y^2=x^2\left(2\ln\vert x\vert+C\right)$ 。若 $y(1)=1$ ，则 $C=$ 。
参考解答
代入 $x=1$ 、 $y=1$ ： $1=1\cdot(0+C)$ ，所以 $C=1$ 。