微分方程的基本概念

含有未知函数、未知函数的导数（或微分）以及自变量的方程称为微分方程。方程中必须出现未知函数的导数或微分，但不必显式出现自变量。

例如 $y'+2xy=\sin x$ 是微分方程；$y^2+x^2=1$ 只含未知函数与自变量，是代数方程，不是微分方程。

• 常微分方程：未知函数只含一个自变量，例如 $y=y(x)$。
• 偏微分方程：未知函数含两个或两个以上自变量，并且方程中出现偏导数，例如 $u=u(x,t)$。

本页只讨论常微分方程，未知函数记为 $y=y(x)$，导数用 $y'$、$y''$、$\dots$、$y^{(n)}$ 表示，其中

导数的定义与记号见导数的定义与几何意义。

微分方程中出现的未知函数导数的最高阶数，称为方程的阶。

是一阶方程；

是二阶方程。

设 $y=\varphi(x)$ 在区间 $I$ 上有直到 $n$ 阶的导数。若把 $\varphi$ 代入方程后，等式在 $I$ 上恒成立，则称 $\varphi$ 是方程在 $I$ 上的解。解必须在使方程各项都有意义的区间上讨论。

$n$ 阶方程的通解是含有 $n$ 个相互独立任意常数的解族：

“相互独立”指这些常数不能通过重新组合合并成更少的常数。一阶方程的通解含一个常数 $C$，二阶方程的通解含两个常数 $C_1,C_2$。

不含任意常数的解称为特解。特解通常由初始条件从通解中选出。

用来确定通解中任意常数的条件称为初始条件。在 $x=x_0$ 处，一阶方程给一个条件

二阶方程给两个条件

一般地，$n$ 阶方程需要 $y,y',\dots,y^{(n-1)}$ 在 $x_0$ 处的值。求微分方程满足给定初始条件的解的问题，称为初值问题。

一阶方程

在平面上每一点 $(x,y)$ 给定一个斜率 $f(x,y)$。以该斜率为方向画出的短线段组成方向场；方程的积分曲线在每一点的切线方向都与方向场一致。

通解在几何上是一族积分曲线，特解是其中经过给定初值点 $(x_0,y_0)$ 的那一条。二阶方程的通解含两个常数，对应需要两个条件才能确定的一条曲线。