可分离变量的微分方程

定义与形式

如果一个一阶微分方程可以写成

\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=f(x)g(y)

或者

M_1(x)N_1(y)\,\mathrm{d}x+M_2(x)N_2(y)\,\mathrm{d}y=0,

则称它为可分离变量的微分方程。前一种形式中，右端是只含 $x$ 的因子与只含 $y$ 的因子的乘积；后一种形式中，两个系数也各自分解为 $x$ 的因子与 $y$ 的因子之积。两种写法只差整理方式：在 $M_2(x)N_2(y)\ne 0$ 的区间上，第二种形式可以解成第一种，二者都能把含 $y$ 的项和含 $x$ 的项分到等号两边。

本页默认 $f$ 与 $g$ 在讨论的区间上连续，以保证积分存在；求解通常在 $g(y)\ne 0$ 的区间上进行。记号 $y'=\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ ，以及阶、通解与初值问题的含义，见微分方程的基本概念。

求解步骤

写成导数形式

把 $y'$ 改写成 $\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ ，并将方程整理成 $\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=f(x)g(y)$ 。
分离变量

在 $g(y)\ne 0$ 的区间上，两边除以 $g(y)$ 、乘以 $\mathrm{d}x$ ：
$\frac{1}{g(y)}\,\mathrm{d}y=f(x)\,\mathrm{d}x.$
含 $y$ 的项与 $\mathrm{d}y$ 留在左边，含 $x$ 的项与 $\mathrm{d}x$ 移到右边。
两边积分
$\int\frac{1}{g(y)}\,\mathrm{d}y=\int f(x)\,\mathrm{d}x.$
只需在右边写一个任意常数。
整理通解

积分得 $G(y)=F(x)+C$ 。能解出 $y$ 时写显式通解，解不出时可保留隐式通解。
代入初值

若给定 $y\vert_{x=x_0}=y_0$ ，把 $x_0,y_0$ 代入通解求出 $C$ ，得到特解。

例子

求 $\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\dfrac{x}{y}$ 的通解

分离变量：

y\,\mathrm{d}y=x\,\mathrm{d}x.

两边积分：

\frac{1}{2}y^2=\frac{1}{2}x^2+C_1.

两边乘以 $2$ ，并记 $C=2C_1$ ：

y^2-x^2=C.

这是隐式通解，几何上是一族等轴双曲线。原方程要求 $y\ne 0$ ，所以解取这些双曲线中 $y\ne 0$ 的支。

解初值问题 $y'=2xy$ ， $y(0)=1$

分离变量：

\frac{\mathrm{d}y}{y}=2x\,\mathrm{d}x.

积分得

\ln\vert y\vert=x^2+C_1,

即 $\vert y\vert=e^{C_1}e^{x^2}$ 。记 $C=\pm e^{C_1}$ ，再补上 $C=0$ 给出的零解 $y=0$ ，通解为

y=Ce^{x^2}.

代入 $x=0$ 、 $y=1$ ，得 $C=1$ ，所以特解为

y=e^{x^2}.

分离变量漏掉的解

方程 $y'=y^2$ 在 $y\ne 0$ 时可以分离：

\frac{\mathrm{d}y}{y^2}=\mathrm{d}x \Longrightarrow -\frac{1}{y}=x+C \Longrightarrow y=-\frac{1}{x+C}.

但 $y=0$ 也满足 $y'=y^2$ ，它是除以 $y^2$ 时丢掉的解，不能由任何有限常数 $C$ 得到。

探索

分离变量后的解如何满足方程？

检验带初始条件的指数解。

正在准备演示…

题集

练习

下列方程中，可分离变量的是：
选择答案
A
$y'=x+y$
B
$y'=xy$
C
$y'=x^2+y^2$
D
$y'=\sin(x+y)$
参考解答
$y'=xy$ 的右端已经是 $x$ 与 $y$ 的乘积。其余三个右端都不能分解成只含 $x$ 的因子与只含 $y$ 的因子的乘积。
初值问题 $\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\dfrac{x}{y}$ ， $y(0)=3$ 。其通解可写成 $y^2-x^2=C$ ，则 $C=$ 。
参考解答
把 $x=0$ 、 $y=3$ 代入 $y^2-x^2=C$ ，得 $C=3^2-0^2=9$ 。
用分离变量法解 $y'=y^2$ 时，除了通解 $y=-\dfrac{1}{x+C}$ ，还遗漏了哪个解？
选择答案
A
$y=0$
B
$y=1$
C
$y=-1$
D
没有遗漏的解
参考解答
分离时除以 $y^2$ ，排除了 $y=0$ 。直接代入可知 $y=0$ 满足 $y'=y^2$ ，所以它是被遗漏的常数解。