导数的定义与几何意义

设函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 的某个邻域内有定义。若差商

当 $\Delta x \to 0$ 时的极限存在，则称 $f$ 在 $x_0$ 处可导，并把这个极限称为 $f$ 在 $x_0$ 处的导数，记作

若 $f$ 在区间 $I$ 内每一点都可导，则 $x \mapsto f'(x)$ 构成一个新函数，称为 $f$ 的导函数，简称导数。

$f$ 在 $x_0$ 处可导，当且仅当左右导数都存在且相等。

曲线 $y=f(x)$ 在点 $(x_0,f(x_0))$ 处的切线斜率就是 $f'(x_0)$。因此切线方程为

当 $f'(x_0)\ne 0$ 时，法线斜率为 $-1/f'(x_0)$。导数也可以读作函数在该点的瞬时变化率。

若 $f$ 在 $x_0$ 处可导，则 $f$ 在 $x_0$ 处连续；反之不成立。证明与反例见函数在一点的连续性。

$f'(x_0)$、$y'\big|_{x=x_0}$ 与 $\left.\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right|_{x=x_0}$ 表示同一个量。$\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ 强调整体作为差商极限，不能把它拆成两个独立的量。