格林公式 · Learning Notes

定义

设闭区域 $D$ 由分段光滑的曲线 $L$ 所围成，函数 $P(x,y)$ 、 $Q(x,y)$ 在 $D$ 上具有一阶连续偏导数，则

\iint\limits_D\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y =\oint_L P\,\mathrm{d}x+Q\,\mathrm{d}y,

其中 $L$ 是 $D$ 的正向边界曲线。

对复连通区域，格林公式仍然成立，但此时 $L$ 应理解为区域 $D$ 的全部边界，且外边界取正向（逆时针），内边界取负向（顺时针）。

使用格林公式前要检查两件事： $P$ 、 $Q$ 在 $D$ 上（包括 $D$ 的内部）具有一阶连续偏导数； $L$ 取正向。若 $D$ 内有使 $P$ 或 $Q$ 无定义的奇点，不能直接套公式，要在挖去奇点后的区域上使用，并把新增的边界计入 $L$ 。

下面给出 $D$ 同时为 $x$ 型与 $y$ 型区域时的证明；一般的分段光滑边界区域可以分割成有限个这样的区域，公共边界上的积分因方向相反而抵消。

设

D=\{(x,y):a\le x\le b,\ y_1(x)\le y\le y_2(x)\}

也是 $y$ 型区域

D=\{(x,y):c\le y\le d,\ x_1(y)\le x\le x_2(y)\}.

先计算含 $Q$ 的项。固定 $y$ ，对 $x$ 积分：

\iint\limits_D\frac{\partial Q}{\partial x}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y =\int_c^d\Bigl[Q\bigl(x_2(y),y\bigr)-Q\bigl(x_1(y),y\bigr)\Bigr]\,\mathrm{d}y.

沿正向边界，右边界 $x=x_2(y)$ 从下往上走，左边界 $x=x_1(y)$ 从上往下走，所以

\oint_L Q\,\mathrm{d}y =\int_c^d Q\bigl(x_2(y),y\bigr)\,\mathrm{d}y +\int_d^c Q\bigl(x_1(y),y\bigr)\,\mathrm{d}y =\int_c^d\Bigl[Q\bigl(x_2(y),y\bigr)-Q\bigl(x_1(y),y\bigr)\Bigr]\,\mathrm{d}y.

两者相等。再计算含 $P$ 的项。固定 $x$ ，对 $y$ 积分：

\iint\limits_D-\frac{\partial P}{\partial y}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y =\int_a^b\Bigl[P\bigl(x,y_1(x)\bigr)-P\bigl(x,y_2(x)\bigr)\Bigr]\,\mathrm{d}x.

沿正向边界，下边界从 $a$ 到 $b$ ，上边界从 $b$ 到 $a$ ，所以

\oint_L P\,\mathrm{d}x =\int_a^b P\bigl(x,y_1(x)\bigr)\,\mathrm{d}x +\int_b^a P\bigl(x,y_2(x)\bigr)\,\mathrm{d}x =\int_a^b\Bigl[P\bigl(x,y_1(x)\bigr)-P\bigl(x,y_2(x)\bigr)\Bigr]\,\mathrm{d}x.

两式相加即得

\iint\limits_D\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y =\oint_L P\,\mathrm{d}x+Q\,\mathrm{d}y.

在格林公式中取 $P=-y$ ， $Q=x$ ，则

\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=1-(-1)=2.

于是

2\iint\limits_D\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y =\oint_L x\,\mathrm{d}y-y\,\mathrm{d}x,

即区域 $D$ 的面积为

A=\iint\limits_D\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y =\frac12\oint_L x\,\mathrm{d}y-y\,\mathrm{d}x,

其中 $L$ 为 $D$ 的正向边界。

取 $P=0$ 、 $Q=x$ 得 $A=\oint_L x\,\mathrm{d}y$ ；取 $P=-y$ 、 $Q=0$ 得 $A=-\oint_L y\,\mathrm{d}x$ 。这两个公式与上面的对称形式等价，选择哪一个取决于边界方程用哪个变量作参数更方便。

边界写成 $x=x(y)$ 时， $\oint_L x\,\mathrm{d}y$ 往往只需计算一个积分；边界写成 $y=y(x)$ 时， $-\oint_L y\,\mathrm{d}x$ 可能更省事。方向必须保持正向，否则结果差一个负号。

用格林公式计算单位正方形的边界积分

设 $D=[0,1]\times[0,1]$ ， $L$ 为其正向边界。取 $P=-y$ 、 $Q=x$ ，则

\oint_L x\,\mathrm{d}y-y\,\mathrm{d}x =\iint\limits_D 2\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y =2\cdot 1=2.

这也正好是 $D$ 的面积的两倍。

椭圆的面积

椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ （ $a,b>0$ ）的正向边界可参数化为

x=a\cos t,\qquad y=b\sin t,\qquad 0\le t\le 2\pi.

于是

x\,\mathrm{d}y-y\,\mathrm{d}x =a\cos t\cdot b\cos t\,\mathrm{d}t -b\sin t\cdot(-a\sin t)\,\mathrm{d}t =ab\,\mathrm{d}t.

代入面积公式：

A=\frac12\int_0^{2\pi}ab\,\mathrm{d}t=\pi ab.

用圆盘例子比较格林公式两侧。

正在准备演示…

题集

使用格林公式时，下列哪组条件足够？
选择答案
A
$P$ 、 $Q$ 在 $D$ 内连续
B
$P$ 、 $Q$ 在 $D$ 上具有一阶连续偏导数，且 $L$ 取正向
C
$L$ 取负向，公式右边也取正
D
$D$ 必须是单连通区域
参考解答
格林公式要求 $P$ 、 $Q$ 在 $D$ 上有一阶连续偏导数，边界取正向；复连通区域也可以使用，只是要取全部边界。
设 $D=[0,1]\times[0,1]$ ， $L$ 为其正向边界，则 $\displaystyle\oint_L x\,\mathrm{d}y-y\,\mathrm{d}x=$ 。
参考解答
由格林公式，被积表达式对应 $\dfrac{\partial Q}{\partial x}-\dfrac{\partial P}{\partial y}=1-(-1)=2$ ，而 $D$ 的面积为 $1$ ，所以积分为 $2\cdot 1=2$ 。