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对坐标的曲线积分

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对坐标的曲线积分沿一条有向曲线累加坐标增量，方向和大小都会进入积分值。本页讨论平面有向曲线 $L$ 与空间有向曲线 $\Gamma$ 上的第二类曲线积分，并说明它与对弧长的曲线积分的关系。有向曲线弧的“光滑”指它有参数方程，各分量具有一阶连续导数且导函数不同时为零；分段光滑指曲线可以分成有限段光滑弧。

定义

设 $L$ 为 $xOy$ 平面内从点 $A$ 到点 $B$ 的一条有向光滑曲线弧，函数 $P(x,y)$ 、 $Q(x,y)$ 在 $L$ 上有界。沿 $L$ 的方向，用 $L$ 上的点 $M_1,M_2,\dots,M_{n-1}$ 将 $L$ 分成 $n$ 个有向小弧段

\overrightarrow{M_{i-1}M_i}\qquad (i=1,2,\dots,n),

其中 $M_0=A$ ， $M_n=B$ 。记

\Delta x_i=x_i-x_{i-1},\qquad \Delta y_i=y_i-y_{i-1},

它们是有向小弧段在两条坐标轴上的投影，方向相反时投影变号。在每个小弧段上任取一点 $(\xi_i,\eta_i)$ ，作和式

\sum_{i=1}^{n}P(\xi_i,\eta_i)\,\Delta x_i, \qquad \sum_{i=1}^{n}Q(\xi_i,\eta_i)\,\Delta y_i.

记 $\lambda$ 为各小弧段长度的最大值。若 $\lambda\to 0$ 时上述两个和式的极限都存在，且与分法及取点无关，则分别称它们为函数 $P(x,y)$ 、 $Q(x,y)$ 在有向曲线弧 $L$ 上对坐标的曲线积分，也称第二类曲线积分，记作

\int_L P(x,y)\,\mathrm{d}x+Q(x,y)\,\mathrm{d}y.

记号中的两个积分分别与 $\mathrm{d}x$ 、 $\mathrm{d}y$ 配对，合并写法表示二者之和。若 $P$ 、 $Q$ 在 $L$ 上连续，则这两个积分存在。

若记 $\mathbf F=(P,Q)$ ， $\mathrm{d}\mathbf r=(\mathrm{d}x,\mathrm{d}y)$ ，则也可写成向量形式

\int_L \mathbf F\cdot\mathrm{d}\mathbf r =\int_L P\,\mathrm{d}x+Q\,\mathrm{d}y.

对空间有向曲线 $\Gamma$ ，类似地定义

\int_\Gamma P\,\mathrm{d}x+Q\,\mathrm{d}y+R\,\mathrm{d}z.

物理意义：变力 $\mathbf F=(P,Q)$ 沿有向曲线 $L$ 所做的功为

W=\int_L P\,\mathrm{d}x+Q\,\mathrm{d}y =\int_L \mathbf F\cdot\mathrm{d}\mathbf r.

性质

方向性：设 $L^-$ 表示与 $L$ 方向相反的有向曲线，则

\int_{L^-}P\,\mathrm{d}x+Q\,\mathrm{d}y =-\int_L P\,\mathrm{d}x+Q\,\mathrm{d}y.

改变方向后，每个 $\Delta x_i$ 、 $\Delta y_i$ 都变号，所以积分值变号。这是第二类曲线积分区别于第一类曲线积分最显著的性质。

可加性：若有向曲线 $L$ 由 $L_1$ 与 $L_2$ 首尾相接组成，且方向一致，则

\int_L P\,\mathrm{d}x+Q\,\mathrm{d}y =\int_{L_1}P\,\mathrm{d}x+Q\,\mathrm{d}y +\int_{L_2}P\,\mathrm{d}x+Q\,\mathrm{d}y.

线性：设 $\alpha,\beta$ 为常数，则

\int_L (\alpha P_1+\beta P_2)\,\mathrm{d}x+(\alpha Q_1+\beta Q_2)\,\mathrm{d}y =\alpha\int_L P_1\,\mathrm{d}x+Q_1\,\mathrm{d}y +\beta\int_L P_2\,\mathrm{d}x+Q_2\,\mathrm{d}y.

第一类曲线积分没有方向性，第二类曲线积分反向变号。做题时先确认题目给的是哪一类积分，再决定方向要不要进入计算。

计算方法

第二类曲线积分同样通过参数化化成定积分，但参数的起止值必须与曲线的起点、终点对应。

写出有向曲线的参数方程

确认参数 $t=\alpha$ 对应起点、 $t=\beta$ 对应终点。参数可以不满足 $\alpha<\beta$ ，关键是起止点与方向一致。
写出坐标微分

由 $x=\varphi(t)$ 、 $y=\psi(t)$ 得
$\mathrm{d}x=\varphi'(t)\,\mathrm{d}t,\qquad \mathrm{d}y=\psi'(t)\,\mathrm{d}t.$
代入并合并

把 $x,y,\mathrm{d}x,\mathrm{d}y$ 一起代入，得到只含 $t$ 的定积分。
按方向确定上下限

从起点对应的参数积到终点对应的参数。若中途交换上下限，必须同时改变积分符号。

参数方程

设有向曲线弧 $L$ 的参数方程为

\begin{cases} x=\varphi(t),\\ y=\psi(t), \end{cases}

当参数 $t$ 单调地从 $\alpha$ 变到 $\beta$ 时，点 $(x,y)$ 从 $L$ 的起点沿 $L$ 运动到终点。若 $\varphi(t)$ 、 $\psi(t)$ 在 $[\alpha,\beta]$ （或 $[\beta,\alpha]$ ）上具有一阶连续导数，且 $P(x,y)$ 、 $Q(x,y)$ 在 $L$ 上连续，则

\int_L P\,\mathrm{d}x+Q\,\mathrm{d}y =\int_\alpha^\beta \Bigl[P\bigl(\varphi(t),\psi(t)\bigr)\varphi'(t) +Q\bigl(\varphi(t),\psi(t)\bigr)\psi'(t)\Bigr]\,\mathrm{d}t.

右端的上下限按曲线的方向排列，不要求 $\alpha<\beta$ 。

直角坐标

若 $L$ 由 $y=y(x)$ 给出， $x$ 从 $a$ 变到 $b$ ，则 $\mathrm{d}y=y'(x)\,\mathrm{d}x$ ，于是

\int_L P\,\mathrm{d}x+Q\,\mathrm{d}y =\int_a^b \Bigl[P\bigl(x,y(x)\bigr)+Q\bigl(x,y(x)\bigr)y'(x)\Bigr]\,\mathrm{d}x.

这里 $a$ 是起点的横坐标， $b$ 是终点的横坐标；曲线从右向左时 $a>b$ 。

空间曲线

若空间有向曲线 $\Gamma$ 的参数方程为

x=\varphi(t),\qquad y=\psi(t),\qquad z=\omega(t),

当 $t$ 从 $\alpha$ 变到 $\beta$ 时，点从 $\Gamma$ 的起点运动到终点，则

\int_\Gamma P\,\mathrm{d}x+Q\,\mathrm{d}y+R\,\mathrm{d}z =\int_\alpha^\beta \Bigl[P\varphi'(t)+Q\psi'(t)+R\omega'(t)\Bigr]\,\mathrm{d}t,

其中 $P,Q,R$ 都在 $(\varphi(t),\psi(t),\omega(t))$ 处取值。

两类曲线积分的联系

设有向曲线弧 $L$ 的起点为 $A$ 、终点为 $B$ 。在 $L$ 上任一点 $(x,y)$ 处，取指向曲线方向的单位切向量

\mathbf T=(\cos\alpha,\cos\beta),

其中 $\alpha$ 、 $\beta$ 分别是 $\mathbf T$ 与 $x$ 轴、 $y$ 轴正向的夹角。由于 $\mathrm{d}s>0$ 是弧长元素，

\mathrm{d}x=\cos\alpha\,\mathrm{d}s,\qquad \mathrm{d}y=\cos\beta\,\mathrm{d}s.

代入第二类曲线积分，得到

\int_L P\,\mathrm{d}x+Q\,\mathrm{d}y =\int_L (P\cos\alpha+Q\cos\beta)\,\mathrm{d}s.

对空间有向曲线 $\Gamma$ ，若单位切向量的方向余弦为 $\cos\alpha$ 、 $\cos\beta$ 、 $\cos\gamma$ ，则

\int_\Gamma P\,\mathrm{d}x+Q\,\mathrm{d}y+R\,\mathrm{d}z =\int_\Gamma (P\cos\alpha+Q\cos\beta+R\cos\gamma)\,\mathrm{d}s.

联系公式说明：第二类曲线积分可以看作以方向余弦为权重的第一类曲线积分。方向余弦的符号由 $L$ 的方向决定，所以右端仍随方向变号； $\mathrm{d}s$ 本身始终为正。

例子

抛物线： $L$ 为 $y=x^2$ ，从 $(0,0)$ 到 $(1,1)$

取 $x$ 为参数， $x$ 从 $0$ 到 $1$ ， $\mathrm{d}y=2x\,\mathrm{d}x$ 。于是

\int_L y\,\mathrm{d}x+x\,\mathrm{d}y =\int_0^1 \bigl(x^2+x\cdot 2x\bigr)\,\mathrm{d}x =\int_0^1 3x^2\,\mathrm{d}x=1.

被积表达式恰好是 $\mathrm{d}(xy)$ ，所以也可以用 $xy$ 在两端点的值相减得到 $1$ 。

上半圆周： $L$ 为 $x^2+y^2=1$ ，从 $(1,0)$ 到 $(-1,0)$

令 $x=\cos t$ ， $y=\sin t$ ， $t$ 从 $0$ 到 $\pi$ ，则 $\mathrm{d}x=-\sin t\,\mathrm{d}t$ ，于是

\int_L y\,\mathrm{d}x =\int_0^\pi \sin t\cdot(-\sin t)\,\mathrm{d}t =-\int_0^\pi \sin^2 t\,\mathrm{d}t =-\frac{\pi}{2}.

若把方向反过来，从 $(-1,0)$ 沿同一半圆走到 $(1,0)$ ，积分值变为 $\dfrac{\pi}{2}$ 。

用两类积分的联系验算： $L$ 为从 $(0,0)$ 到 $(1,1)$ 的直线段

取 $P=x$ ， $Q=y$ 。直接计算：

\int_L x\,\mathrm{d}x+y\,\mathrm{d}y =\int_0^1 (x+x)\,\mathrm{d}x=1.

另一方面， $L$ 的单位切向量为 $\left(\dfrac{1}{\sqrt2},\dfrac{1}{\sqrt2}\right)$ ， $\mathrm{d}s=\sqrt2\,\mathrm{d}x$ ，所以

\int_L (x\cos\alpha+y\cos\beta)\,\mathrm{d}s =\int_0^1 \frac{2x}{\sqrt2}\cdot\sqrt2\,\mathrm{d}x =\int_0^1 2x\,\mathrm{d}x=1.

两种算法结果一致。

探索

反向绕行会怎样改变曲线积分？

比较圆周上两种方向的坐标曲线积分。

正在准备演示…

题集

练习

关于对坐标的曲线积分，下列哪条叙述正确？
选择答案
A
积分值与曲线方向无关
B
把曲线方向反过来，积分值变号
C
化成定积分时，下限必须小于上限
D
弧长元素 $\mathrm{d}s$ 可正可负
参考解答
第二类曲线积分的方向性来自 $\Delta x_i$ 、 $\Delta y_i$ 的符号；第一类曲线积分才与方向无关。
$L$ 为从 $(0,0)$ 到 $(1,1)$ 的直线段，则 $\displaystyle\int_L x\,\mathrm{d}y+y\,\mathrm{d}x=$ 。
参考解答
在 $L$ 上 $y=x$ ， $\mathrm{d}y=\mathrm{d}x$ ，所以
$\int_0^1 (x+x)\,\mathrm{d}x=1.$
$L$ 为从 $(1,0)$ 到 $(-1,0)$ 的任意分段光滑曲线，则 $\displaystyle\int_L \mathrm{d}x=$ 。
参考解答
被积表达式就是 $\mathrm{d}x$ ，积分只由端点决定：
$\int_L \mathrm{d}x=x\big|_{(1,0)}^{(-1,0)}=-1-1=-2.$
设 $L$ 是有向曲线弧， $\cos\alpha$ 、 $\cos\beta$ 是其单位切向量的方向余弦。下列哪个式子正确？
选择答案
A
$\displaystyle\int_L P\,\mathrm{d}x+Q\,\mathrm{d}y=\int_L (P\cos\alpha+Q\cos\beta)\,\mathrm{d}s$
B
$\displaystyle\int_L P\,\mathrm{d}x+Q\,\mathrm{d}y=\int_L (P\cos\beta+Q\cos\alpha)\,\mathrm{d}s$
C
$\displaystyle\int_L P\,\mathrm{d}x+Q\,\mathrm{d}y=\int_L (P+Q)\,\mathrm{d}s$
D
$\displaystyle\int_L P\,\mathrm{d}x+Q\,\mathrm{d}y=\int_L (P\sin\alpha+Q\sin\beta)\,\mathrm{d}s$
参考解答
由 $\mathrm{d}x=\cos\alpha\,\mathrm{d}s$ 、 $\mathrm{d}y=\cos\beta\,\mathrm{d}s$ 直接代入得到，方向余弦的符号由曲线方向决定。