曲线积分与路径无关

设 $G$ 是一个开区域，函数 $P(x,y)$、$Q(x,y)$ 在 $G$ 内具有一阶连续偏导数。若对于 $G$ 内任意两点 $A$、$B$，以及 $G$ 内从 $A$ 到 $B$ 的任意两条路径 $L_1$ 和 $L_2$，都有

则称曲线积分 $\displaystyle\int_L P\,\mathrm{d}x+Q\,\mathrm{d}y$ 在 $G$ 内与路径无关。

反之，若存在两点 $A$、$B$ 及两条路径使得积分值不等，则称积分与路径有关，也称路径相关。

以下四个条件在单连通区域 $G$ 内相互等价：

1. 曲线积分 $\displaystyle\int_L P\,\mathrm{d}x+Q\,\mathrm{d}y$ 在 $G$ 内与路径无关；
2. 对 $G$ 内的任意闭曲线 $C$，有 $\displaystyle\oint_C P\,\mathrm{d}x+Q\,\mathrm{d}y=0$；
3. 在 $G$ 内恒有 $\displaystyle\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}$；
4. $P\,\mathrm{d}x+Q\,\mathrm{d}y$ 是 $G$ 内某个函数 $u(x,y)$ 的全微分，即 $\mathrm{d}u=P\,\mathrm{d}x+Q\,\mathrm{d}y$。

设区域 $G$ 是一个单连通区域，函数 $P(x,y)$、$Q(x,y)$ 在 $G$ 内具有一阶连续偏导数，则以下两个条件等价：

1. 曲线积分 $\displaystyle\int_L P\,\mathrm{d}x+Q\,\mathrm{d}y$ 在 $G$ 内与路径无关，或沿 $G$ 内任意闭曲线的积分为零；
2. 在 $G$ 内恒有

单连通区域这个条件不能省。复连通区域中即使处处满足 $\partial P/\partial y=\partial Q/\partial x$，曲线积分也不一定与路径无关：绕“洞”的闭曲线积分可能不为零，例子中的 $\dfrac{x\,\mathrm{d}y-y\,\mathrm{d}x}{x^2+y^2}$ 就是这种情况。

当积分与路径无关时，从定点 $A(x_0,y_0)$ 到动点 $B(x,y)$ 的曲线积分只与起点和终点有关，可记为

这个 $u(x,y)$ 就是 $P\,\mathrm{d}x+Q\,\mathrm{d}y$ 的一个原函数，并且

于是 $\mathrm{d}u=P\,\mathrm{d}x+Q\,\mathrm{d}y$，沿任意路径从 $A$ 到 $B$ 的积分都等于 $u(B)-u(A)$。