知识点

对弧长的曲线积分

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对弧长的曲线积分把被积函数沿一条曲线累加，累加的依据是弧长。本页讨论平面曲线 $L$ 与空间曲线 $\Gamma$ 上的第一类曲线积分，记弧长元素为 $\mathrm{d}s$ 。这里的曲线都指光滑曲线：存在参数方程，各分量有一阶连续导数，且导函数不同时为零。

定义

设 $L$ 为 $xOy$ 平面内的一条光滑曲线弧，函数 $f(x,y)$ 在 $L$ 上有界。将 $L$ 任意分成 $n$ 个小弧段

\Delta s_1,\Delta s_2,\dots,\Delta s_n,

其中 $\Delta s_i$ 也表示第 $i$ 个小弧段的长度。在每个小弧段上任取一点 $(\xi_i,\eta_i)$ ，作和式

\sum_{i=1}^{n}f(\xi_i,\eta_i)\,\Delta s_i.

记 $\lambda$ 为各小弧段长度的最大值。若极限

\lim_{\lambda\to 0}\sum_{i=1}^{n}f(\xi_i,\eta_i)\,\Delta s_i

存在，且与 $L$ 的分法及点 $(\xi_i,\eta_i)$ 的取法无关，则称此极限为函数 $f(x,y)$ 在曲线弧 $L$ 上对弧长的曲线积分，也称第一类曲线积分，记作

\int_L f(x,y)\,\mathrm{d}s.

其中 $L$ 称为积分弧段， $f(x,y)$ 称为被积函数， $\mathrm{d}s$ 称为弧长元素。若 $f$ 在 $L$ 上连续，则上述积分存在。

对空间曲线 $\Gamma$ 上的第一类曲线积分，定义完全类似，记作

\int_\Gamma f(x,y,z)\,\mathrm{d}s.

物理意义：若曲线形构件占据位置 $L$ ，线密度为 $\rho(x,y)$ ，则构件的质量为

M=\int_L \rho(x,y)\,\mathrm{d}s.

因为 $\rho(x,y)\,\mathrm{d}s$ 是一小段弧的质量微元，沿曲线累加就得到总质量。

性质

线性：设 $\alpha,\beta$ 为常数，则

\int_L \bigl[\alpha f(x,y)+\beta g(x,y)\bigr]\,\mathrm{d}s =\alpha\int_L f(x,y)\,\mathrm{d}s+\beta\int_L g(x,y)\,\mathrm{d}s.

对弧段可加：若 $L=L_1+L_2$ ，其中 $L_1$ 与 $L_2$ 首尾相接且只在端点相交，则

\int_L f(x,y)\,\mathrm{d}s =\int_{L_1} f(x,y)\,\mathrm{d}s+\int_{L_2} f(x,y)\,\mathrm{d}s.

与方向无关：设 $L^-$ 表示与 $L$ 方向相反的弧，则

\int_{L^-}f(x,y)\,\mathrm{d}s=\int_L f(x,y)\,\mathrm{d}s.

原因是弧长元素 $\mathrm{d}s>0$ ，只记录小弧段的长度，不记录沿哪个方向走过。这一点与对坐标的曲线积分不同，后者反向时积分变号。

把对弧长的曲线积分化成定积分时，积分下限必须小于上限。 $\mathrm{d}s$ 恒为正，参数区间反向时应先把参数范围改写成从小到大的形式，不能靠交换上下限制造符号。

计算方法

把曲线参数化后， $\mathrm{d}s$ 就是参数增量的长度倍数，曲线积分随即化为普通定积分。计算时按下面的顺序进行。

写出参数方程并确定参数范围

选取使曲线只被经过一次的参数区间，并保证区间下限小于上限。空间曲线还要写出 $z$ 的参数表达式。
计算弧长元素

由 $\mathrm{d}s=\sqrt{(\mathrm{d}x)^2+(\mathrm{d}y)^2}$ 写出 $\mathrm{d}s$ 关于参数增量的表达式，例如参数为 $t$ 时
$\mathrm{d}s=\sqrt{[\varphi'(t)]^2+[\psi'(t)]^2}\,\mathrm{d}t.$
把被积函数用参数表示

将 $x=\varphi(t)$ 、 $y=\psi(t)$ 代入 $f(x,y)$ ，被积函数变成只含 $t$ 的函数。
计算定积分

用所得的定积分公式计算。结果是一个数，与曲线的参数化方式无关。

参数方程

设 $f(x,y)$ 在曲线弧 $L$ 上连续， $L$ 的参数方程为

\begin{cases} x=\varphi(t),\\ y=\psi(t), \end{cases} \qquad \alpha\le t\le \beta,

其中 $\varphi(t)$ 、 $\psi(t)$ 在 $[\alpha,\beta]$ 上具有一阶连续导数，且

[\varphi'(t)]^2+[\psi'(t)]^2\ne 0.

则曲线积分存在，且

\int_L f(x,y)\,\mathrm{d}s =\int_\alpha^\beta f\bigl[\varphi(t),\psi(t)\bigr] \sqrt{[\varphi'(t)]^2+[\psi'(t)]^2}\,\mathrm{d}t.

右端是普通定积分，下限 $\alpha$ 小于上限 $\beta$ 。

直角坐标

若曲线 $L$ 由 $y=y(x)$ （ $a\le x\le b$ ）给出，把 $x$ 看作参数，则 $\mathrm{d}s=\sqrt{1+[y'(x)]^2}\,\mathrm{d}x$ ，于是

\int_L f(x,y)\,\mathrm{d}s =\int_a^b f\bigl[x,y(x)\bigr]\sqrt{1+[y'(x)]^2}\,\mathrm{d}x.

极坐标

若曲线 $L$ 由极坐标 $r=r(\theta)$ （ $\alpha\le\theta\le\beta$ ）给出，则

x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta,

并且

\mathrm{d}s=\sqrt{r^2+[r'(\theta)]^2}\,\mathrm{d}\theta.

因此

\int_L f(x,y)\,\mathrm{d}s =\int_\alpha^\beta f(r\cos\theta,r\sin\theta) \sqrt{r^2+[r'(\theta)]^2}\,\mathrm{d}\theta.

空间曲线

若空间曲线 $\Gamma$ 的参数方程为

x=\varphi(t),\qquad y=\psi(t),\qquad z=\omega(t), \qquad \alpha\le t\le \beta,

则

\int_\Gamma f(x,y,z)\,\mathrm{d}s =\int_\alpha^\beta f\bigl[\varphi(t),\psi(t),\omega(t)\bigr] \sqrt{[\varphi'(t)]^2+[\psi'(t)]^2+[\omega'(t)]^2}\,\mathrm{d}t.

例子

直线段上的积分： $L$ 为 $y=x$ ， $0\le x\le 1$

取 $x$ 为参数， $y=x$ ， $y'=1$ ，所以

\mathrm{d}s=\sqrt{1+1}\,\mathrm{d}x=\sqrt{2}\,\mathrm{d}x.

被积函数 $x+y=2x$ ，于是

\int_L (x+y)\,\mathrm{d}s =\int_0^1 2x\cdot\sqrt{2}\,\mathrm{d}x =\sqrt{2}.

上半圆周： $L$ 为 $x^2+y^2=1$ ， $y\ge 0$

用极坐标， $r=1$ ， $0\le\theta\le\pi$ ，则 $r'=0$ ，

\mathrm{d}s=\sqrt{1^2+0^2}\,\mathrm{d}\theta=\mathrm{d}\theta.

被积函数 $y=\sin\theta$ ，所以

\int_L y\,\mathrm{d}s=\int_0^\pi \sin\theta\,\mathrm{d}\theta=2.

这里参数区间从 $0$ 到 $\pi$ ，下限小于上限；曲线从 $(1,0)$ 沿上半圆走到 $(-1,0)$ ，第一类积分不关心这个走向。

空间曲线： $\Gamma$ 为 $x=y=z=t$ ， $0\le t\le 1$

此时

\mathrm{d}s=\sqrt{1^2+1^2+1^2}\,\mathrm{d}t=\sqrt{3}\,\mathrm{d}t,

被积函数 $x+y+z=3t$ ，于是

\int_\Gamma (x+y+z)\,\mathrm{d}s =\int_0^1 3t\cdot\sqrt{3}\,\mathrm{d}t =\frac{3\sqrt{3}}{2}.

探索

改变行进方向会改变弧长积分吗？

比较线段上同一标量函数的两种方向。

正在准备演示…

题集

练习

关于对弧长的曲线积分，下列哪条叙述正确？
选择答案
A
把曲线方向反过来，积分值变号
B
积分值与曲线方向无关
C
化成定积分时，下限可以大于上限
D
弧长元素 $\mathrm{d}s$ 可正可负
参考解答
$\mathrm{d}s>0$ 只记录长度，不记录方向；化成定积分时必须让下限小于上限。
$L$ 为从 $(0,0)$ 到 $(3,0)$ 的直线段，则 $\displaystyle\int_L (x+y)\,\mathrm{d}s=$ 。
参考解答
在 $L$ 上 $y=0$ ， $\mathrm{d}s=\mathrm{d}x$ ，所以
$\int_0^3 x\,\mathrm{d}x=\frac{9}{2}.$
$L$ 为单位圆的上半圆周，则 $\displaystyle\int_L y\,\mathrm{d}s=$ 。
参考解答
令 $x=\cos\theta$ ， $y=\sin\theta$ ， $0\le\theta\le\pi$ ，则 $\mathrm{d}s=\mathrm{d}\theta$ ，
$\int_0^\pi \sin\theta\,\mathrm{d}\theta=2.$
$L$ 为圆周 $x^2+y^2=4$ ，则 $\displaystyle\int_L (x^2+y^2)\,\mathrm{d}s=$
选择答案
A
$4\pi$
B
$8\pi$
C
$16\pi$
D
$32\pi$
参考解答
在 $L$ 上 $x^2+y^2=4$ ，而圆的周长为 $2\pi\cdot 2=4\pi$ ，所以积分为 $4\cdot 4\pi=16\pi$ 。