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知识点

和差角与三角恒等变形

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公式

以下公式都在各函数有定义时成立；正切公式还要求分母不为零。

两角和差

sin⁡(α±β)=sin⁡αcos⁡β±cos⁡αsin⁡β,cos⁡(α±β)=cos⁡αcos⁡β∓sin⁡αsin⁡β,tan⁡(α±β)=tan⁡α±tan⁡β1∓tan⁡αtan⁡β.\begin{aligned} \sin(\alpha\pm\beta)&=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta,\\ \cos(\alpha\pm\beta)&=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta,\\ \tan(\alpha\pm\beta)&=\frac{\tan\alpha\pm\tan\beta}{1\mp\tan\alpha\tan\beta}. \end{aligned}

正切公式要求 cos⁡αcos⁡β≠0\cos\alpha\cos\beta\ne 0，且对应分母 1−tan⁡αtan⁡β1-\tan\alpha\tan\beta 或 1+tan⁡αtan⁡β1+\tan\alpha\tan\beta 不为零。

和差化积

sin⁡α+sin⁡β=2sin⁡α+β2cos⁡α−β2,sin⁡α−sin⁡β=2cos⁡α+β2sin⁡α−β2,cos⁡α+cos⁡β=2cos⁡α+β2cos⁡α−β2,cos⁡α−cos⁡β=−2sin⁡α+β2sin⁡α−β2.\begin{aligned} \sin\alpha+\sin\beta&=2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2},\\ \sin\alpha-\sin\beta&=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2},\\ \cos\alpha+\cos\beta&=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2},\\ \cos\alpha-\cos\beta&=-2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}. \end{aligned}

积化和差

sin⁡αcos⁡β=12[sin⁡(α+β)+sin⁡(α−β)],cos⁡αsin⁡β=12[sin⁡(α+β)−sin⁡(α−β)],cos⁡αcos⁡β=12[cos⁡(α+β)+cos⁡(α−β)],sin⁡αsin⁡β=12[cos⁡(α−β)−cos⁡(α+β)].\begin{aligned} \sin\alpha\cos\beta&=\frac{1}{2}\left[\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)\right],\\ \cos\alpha\sin\beta&=\frac{1}{2}\left[\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)\right],\\ \cos\alpha\cos\beta&=\frac{1}{2}\left[\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)\right],\\ \sin\alpha\sin\beta&=\frac{1}{2}\left[\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)\right]. \end{aligned}

倍角

sin⁡2α=2sin⁡αcos⁡α,cos⁡2α=cos⁡2α−sin⁡2α=2cos⁡2α−1=1−2sin⁡2α,tan⁡2α=2tan⁡α1−tan⁡2α.\begin{aligned} \sin 2\alpha&=2\sin\alpha\cos\alpha,\\ \cos 2\alpha&=\cos^{2}\alpha-\sin^{2}\alpha=2\cos^{2}\alpha-1=1-2\sin^{2}\alpha,\\ \tan 2\alpha&=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^{2}\alpha}. \end{aligned}

正切倍角公式要求 cos⁡α≠0\cos\alpha\ne 0 且 1−tan⁡2α≠01-\tan^{2}\alpha\ne 0。

半角

sin⁡α2=±1−cos⁡α2,cos⁡α2=±1+cos⁡α2,tan⁡α2=±1−cos⁡α1+cos⁡α=sin⁡α1+cos⁡α=1−cos⁡αsin⁡α.\begin{aligned} \sin\frac{\alpha}{2}&=\pm\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}},\\ \cos\frac{\alpha}{2}&=\pm\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{2}},\\ \tan\frac{\alpha}{2}&=\pm\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}} =\frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha} =\frac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha}. \end{aligned}

降幂

原式降幂结果
sin⁡2α\sin^{2}\alpha1−cos⁡2α2\dfrac{1-\cos 2\alpha}{2}
cos⁡2α\cos^{2}\alpha1+cos⁡2α2\dfrac{1+\cos 2\alpha}{2}
sin⁡3α\sin^{3}\alpha3sin⁡α−sin⁡3α4\dfrac{3\sin\alpha-\sin 3\alpha}{4}
cos⁡3α\cos^{3}\alpha3cos⁡α+cos⁡3α4\dfrac{3\cos\alpha+\cos 3\alpha}{4}
sin⁡4α\sin^{4}\alpha3−4cos⁡2α+cos⁡4α8\dfrac{3-4\cos 2\alpha+\cos 4\alpha}{8}
cos⁡4α\cos^{4}\alpha3+4cos⁡2α+cos⁡4α8\dfrac{3+4\cos 2\alpha+\cos 4\alpha}{8}

更高次幂可以反复使用倍角公式降幂，也可以借助欧拉公式把正弦、余弦写成复指数再展开，或按傅里叶系数的做法推广。

化简与求值

  1. 统一角

    用诱导公式把角化到同一个角或锐角，减少同时出现的角。

  2. 统一函数名

    把正切、余切化为正弦、余弦，或反过来把正弦、余弦化为正切；后者要注意 cos⁡α≠0\cos\alpha\ne 0。

  3. 选择公式

    两个角的和差用和差角公式展开；同角的高次幂用降幂公式；正弦、余弦的和差考虑和差化积；三角函数的乘积考虑积化和差。

  4. 检验符号与定义域

    用特殊值回代检查符号，并确认每一步用到的函数都有定义、分母不为零。

例子

已知正弦值求二倍角

已知 sin⁡α=35\sin\alpha=\dfrac{3}{5}，α∈(π2,π)\alpha\in\left(\dfrac{\pi}{2},\pi\right)，求 cos⁡2α\cos 2\alpha 与 sin⁡2α\sin 2\alpha。

因为 α\alpha 在第二象限，所以

cos⁡α=−1−sin⁡2α=−45.\cos\alpha=-\sqrt{1-\sin^{2}\alpha}=-\frac{4}{5}.

于是

cos⁡2α=1−2sin⁡2α=1−2⋅925=725,\cos 2\alpha=1-2\sin^{2}\alpha=1-2\cdot\frac{9}{25}=\frac{7}{25},sin⁡2α=2sin⁡αcos⁡α=2⋅35⋅(−45)=−2425.\sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha=2\cdot\frac{3}{5}\cdot\left(-\frac{4}{5}\right)=-\frac{24}{25}.

探索

正弦的和角公式如何对应？

在单位圆上比较两个角、合角终点的纵坐标与公式两边。

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题集

练习

  1. 下列等式在定义域内恒成立的有：

    题 double-angle-forms · choice
    参考解答

    前三个都是二倍角余弦的常用形式；最后一个的符号相反，应为 1−2sin⁡2α1-2\sin^{2}\alpha。

本题集已答对 0 / 1 个可判分项