知识点

三角函数的导数与积分

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公式

导数公式

以下公式只在自变量以弧度为单位时成立；若题目给出角度制，应先换算为弧度。

函数 $f(x)$	导函数 $f'(x)$	条件
$\sin x$	$\cos x$	—
$\cos x$	$-\sin x$	—
$\tan x$	$\sec^{2}x=\dfrac{1}{\cos^{2}x}$	$\cos x\ne 0$
$\cot x$	$-\csc^{2}x=-\dfrac{1}{\sin^{2}x}$	$\sin x\ne 0$
$\sec x$	$\sec x\tan x$	$\cos x\ne 0$
$\csc x$	$-\csc x\cot x$	$\sin x\ne 0$
$\arcsin x$	$\dfrac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}$	$\lvert x\rvert<1$
$\arccos x$	$-\dfrac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}$	$\lvert x\rvert<1$
$\arctan x$	$\dfrac{1}{1+x^{2}}$	—
$\operatorname{arccot} x$	$-\dfrac{1}{1+x^{2}}$	—

积分公式

常用的三角函数积分表如下：

积分	结果	备注
$\int\sin x\,\mathrm{d}x$	$-\cos x+C$	—
$\int\cos x\,\mathrm{d}x$	$\sin x+C$	—
$\int\sec^{2}x\,\mathrm{d}x$	$\tan x+C$	—
$\int\csc^{2}x\,\mathrm{d}x$	$-\cot x+C$	—
$\int\tan x\,\mathrm{d}x$	$-\ln\lvert\cos x\rvert+C$	凑微分 $\mathrm{d}(\cos x)$
$\int\cot x\,\mathrm{d}x$	$\ln\lvert\sin x\rvert+C$	凑微分 $\mathrm{d}(\sin x)$
$\int\sec x\,\mathrm{d}x$	$\ln\lvert\sec x+\tan x\rvert+C$	—
$\int\csc x\,\mathrm{d}x$	$\ln\lvert\csc x-\cot x\rvert+C$	—

例子

求导与积分

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\tan x\right)=\sec^{2}x,\qquad \int\left(\sin x+\sec^{2}x\right)\mathrm{d}x=-\cos x+\tan x+C.

第二个结果逐项使用基本积分表，再对结果求导即可检验。

题集

练习

$\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\arctan x=$
选择答案
A
$\dfrac{1}{1+x^{2}}$
B
$-\dfrac{1}{1+x^{2}}$
C
$\dfrac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}$
D
$\dfrac{x}{1+x^{2}}$
参考解答
反正切的导数是 $\dfrac{1}{1+x^{2}}$ ； $\arccos x$ 的导数才带负号， $\arcsin x$ 的导数带根号。

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