角与三角函数 · Learning Notes

定义

角度制用 $360^{\circ}$ 表示一整周。弧度制用弧长与半径之比度量角的大小，两种单位的换算关系为

360^{\circ}=2\pi,\qquad 180^{\circ}=\pi.

因此

1^{\circ}=\frac{\pi}{180},\qquad 1\ \text{rad}=\frac{180^{\circ}}{\pi}\approx 57.3^{\circ}.

设角 $\alpha$ 的终边经过点 $(x,y)$ （ $x$ 、 $y$ 不同时为零），该点到原点的距离为

r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}>0.

六个三角函数定义为：

其中正弦、余弦、正切是基础，正割、余割、余切分别是余弦、正弦、正切的倒数。

六个函数的周期与奇偶性如下：

函数	周期	奇偶性
$\sin x$ 、 $\cos x$ 、 $\sec x$ 、 $\csc x$	$2\pi$	$\sin x$ 、 $\csc x$ 为奇函数； $\cos x$ 、 $\sec x$ 为偶函数
$\tan x$ 、 $\cot x$	$\pi$	均为奇函数

把角 $\alpha$ 看作锐角时，终边所在象限决定各函数的符号：

象限	$\sin$ 、 $\csc$	$\cos$ 、 $\sec$	$\tan$ 、 $\cot$
第一象限	$+$	$+$	$+$
第二象限	$+$	$-$	$-$
第三象限	$-$	$-$	$+$
第四象限	$-$	$+$	$-$

单位圆上的投影与定义域的关系见交互探索；同角关系与诱导公式见同角关系与诱导公式；和差角等变形见和差角与三角恒等变形。

特殊角的正弦与余弦

$\dfrac{\pi}{6}=30^{\circ}$ ，所以

\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2},\qquad \cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}.

这两个值也可以由单位圆上终边的坐标直接读出。

题集

$\sin\dfrac{\pi}{6}=$ 。
参考解答
$\dfrac{\pi}{6}=30^{\circ}$ ，所以 $\sin\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{1}{2}=0.5$ 。
若 $\alpha$ 是第二象限角，下列函数值为正的是：
题 quadrant-sign · choice
A
$\sin\alpha$
B
$\cos\alpha$
C
$\tan\alpha$
D
$\cot\alpha$
参考解答
第二象限中纵坐标为正、横坐标为负，所以正弦为正，余弦为负，正切与余切都为负。

旋转单位圆上的终边，观察余弦、正弦的投影与象限符号。