函数在一点的连续性

设函数 $f$ 在点 $x_0$ 的某个邻域内有定义。若

则称 $f$ 在 $x_0$ 处连续。

这个等式同时要求三件事：$f(x_0)$ 有定义，$\lim_{x \to x_0} f(x)$ 存在，并且极限值等于函数值。三者缺一不可。

记 $\Delta x=x-x_0$，$\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$，则连续性也等价于

也就是说，自变量的微小变化只会引起函数值的微小变化。

若 $f$ 在开区间 $(a,b)$ 内每一点都连续，则称 $f$ 在 $(a,b)$ 内连续。

若 $f$ 在闭区间 $[a,b]$ 上有定义，且满足

1. $f$ 在 $(a,b)$ 内连续；
2. $\lim_{x \to a^+}f(x)=f(a)$（在左端点右连续）；
3. $\lim_{x \to b^-}f(x)=f(b)$（在右端点左连续），

则称 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续。端点处只要求单侧连续，是因为函数在区间外可能没有定义。

若 $f$ 与 $g$ 都在 $x_0$ 处连续，则 $f\pm g$、$fg$ 以及 $f/g$（要求 $g(x_0)\ne 0$）都在 $x_0$ 处连续；连续函数的复合在对应点也连续。

因此初等函数在其定义区间内连续，求这类函数的极限时可以直接代入。

若 $f$ 在 $x_0$ 处可导，则 $f$ 在 $x_0$ 处连续。

反过来不成立：连续只保证函数值贴近极限值，不保证差商的极限存在。例子见下节。