极限的四则运算与比较法则

极限的四则运算法则解决的是这样一类问题：已知 $f$ 与 $g$ 各自的极限，求 $f\pm g$、$fg$、$f/g$ 等组合的极限。

设 $\lim_{x \to x_0}f(x)=A$，$\lim_{x \to x_0}g(x)=B$。当 $A$、$B$ 都是有限数时，组合的极限由 $A$、$B$ 唯一确定，这就是四则运算法则成立的前提。若组合的极限不能由各部分的极限直接确定，这类情形称为不定型，包括

出现不定型时四则运算法则失效，必须先做变形，再重新求极限。

若 $\lim f(x)=A$，$\lim g(x)=B$，且 $A$、$B$ 都是有限数，则

1. 和差法则：$\lim[f(x)\pm g(x)]=\lim f(x)\pm\lim g(x)=A\pm B$。
2. 常数乘法法则：$\lim[Cf(x)]=C\lim f(x)=CA$，其中 $C$ 为常数。
3. 积法则：$\lim[f(x)\cdot g(x)]=\lim f(x)\cdot\lim g(x)=AB$。
4. 商法则：$\lim\dfrac{f(x)}{g(x)}=\dfrac{\lim f(x)}{\lim g(x)}=\dfrac{A}{B}$，前提是 $B\ne 0$。
5. 幂法则：$\lim[f(x)]^n=[\lim f(x)]^n=A^n$，其中 $n$ 为常数。

设 $f(x)$、$g(x)$、$h(x)$ 在 $x_0$ 的某去心邻域内（或 $x\to\infty$ 时）满足

且 $\lim f(x)=\lim h(x)=L$，则 $\lim g(x)=L$。

若 $\lim_{x \to x_0}f(x)=A$ 且 $A>0$（或 $A<0$），则在 $x_0$ 的某一去心邻域内有 $f(x)>0$（或 $f(x)<0$）。

若在 $x_0$ 的某一去心邻域内 $f(x)\le g(x)$，且 $\lim f(x)$、$\lim g(x)$ 都存在，则

求极限时先直接代入（连续点），不能代入就考察类型，再选择变形方法。

若 $f$ 在 $x_0$ 处连续，则 $\lim_{x \to x_0}f(x)=f(x_0)$。初等函数在其定义区间内都连续，所以这类极限可以直接代入。连续性的定义与判断见 函数在一点的连续性。

针对不同的不定型，常用以下变形手段。

• 因式分解与约分：针对 $\dfrac{0}{0}$ 型的有理式。例如 $$\lim_{x \to 1}\frac{x^2-1}{x-1} =\lim_{x \to 1}\frac{(x-1)(x+1)}{x-1} =\lim_{x \to 1}(x+1)=2.$$
• 根式有理化：针对含根式的 $\dfrac{0}{0}$ 型或 $\infty-\infty$ 型，乘以共轭表达式消去根式。
• 提取最高次幂：针对 $x\to\infty$ 时的 $\dfrac{\infty}{\infty}$ 型，分子分母同除以 $x$ 的最高次幂。

若 $\lim_{x \to x_0}f(x)=\lim_{x \to x_0}g(x)=0$（或都趋于 $\infty$），$f$、$g$ 在 $x_0$ 的去心邻域内可导且 $g'(x)\ne 0$，并且 $\lim_{x \to x_0}\dfrac{f'(x)}{g'(x)}$ 存在（或为 $\infty$），则

当 $x\to 0$ 时，若 $\alpha(x)\sim\beta(x)$，则乘积或商中的因子 $\alpha(x)$ 可以用 $\beta(x)$ 替换；和差中的项不能直接逐项替换。基本等价关系与替换条件见 等价无穷小。

对于含多种初等函数的 $\dfrac{0}{0}$ 型，若洛必达法则求导次数多、计算量大，可把分子分母分别展开到最低非零次幂再比较。

对于幂指函数产生的 $1^\infty$、$\infty^0$、$0^0$ 型，先利用对数恒等式把 $f(x)^{g(x)}$ 写成 $e^{g(x)\ln f(x)}$，求出指数部分的极限 $L$，原极限为 $e^L$。

第一个重要极限处理 $\dfrac{0}{0}$ 型的三角函数，第二个重要极限处理 $1^\infty$ 型。两者的结构、变形方法和几何意义见 两个重要极限。