正弦的重要极限

当 $x$ 以弧度表示并趋近 $0$ 时，$\lim_{x\to0}\dfrac{\sin x}{x}=1$。这里极限只考察 $x\ne0$ 的取值。

1. 极限类型：$\dfrac{0}{0}$ 型。$x\to 0$ 时，分子 $\sin x\to 0$，分母 $x\to 0$。
2. 结构要求：分子是分母对应的正弦函数，即 $\lim_{\square \to 0}\dfrac{\sin\square}{\square}=1$，其中 $\square$ 是同一个变量或表达式，且 $\square\to 0$。

应用场景

• 直接套用：表达式符合 $\dfrac{\sin\text{某式}}{\text{某式}}$ 且某式趋于 $0$ 时，结果为 $1$。例如 $\lim_{x \to 0}\dfrac{\sin 2x}{2x}=1$（令 $\square=2x$，$x\to 0$ 时 $2x\to 0$）。

• 变形后套用：分子分母的 $\square$ 不一致时，先通过凑项、调整系数把结构补成一致。例如

  $$\lim_{x \to 0}\frac{\sin 3x}{x} =3\lim_{x \to 0}\frac{\sin 3x}{3x} =3\times 1=3.$$

  这里提取系数 $3$，把分母凑成 $3x$，结构才与模板一致。

当 $0<x<\dfrac{\pi}{2}$ 时，比较单位圆中三角形、扇形与三角形的面积，可得

三边都为正，除以 $\sin x$ 得

即 $\cos x<\dfrac{\sin x}{x}<1$。由 $\lim_{x \to 0^+}\cos x=1$ 和夹逼定理，右极限为 $1$。又因为 $\dfrac{\sin x}{x}$ 是偶函数，左极限也等于 $1$，所以 $\lim_{x \to 0}\dfrac{\sin x}{x}=1$。夹逼定理的表述见 极限的四则运算与比较法则。