间断点及其分类 · Learning Notes

定义

设函数 $f$ 在点 $x_0$ 的某个去心邻域内有定义。若 $f$ 在 $x_0$ 处不连续，则称 $x_0$ 为 $f$ 的间断点。

判断间断点只看两条： $\lim_{x \to x_0^-}f(x)$ 与 $\lim_{x \to x_0^+}f(x)$ 是否都存在。按这一点，间断点分为两类。

类别	条件	细分	典型例子
第一类间断点	左右极限都存在	左右极限相等但不等于函数值（或函数值不存在）：可去间断点	$\dfrac{\sin x}{x}$ 在 $x=0$ 处
		左右极限不相等：跳跃间断点	$\operatorname{sgn}(x)$ 在 $x=0$ 处
第二类间断点	至少一个单侧极限不存在	至少一个单侧极限为 $\pm\infty$ ：无穷间断点	$\dfrac{1}{x^2}$ 在 $x=0$ 处
		极限不存在且不趋于无穷：振荡间断点	$\sin\dfrac{1}{x}$ 在 $x=0$ 处

可去间断点是最容易误判的一类：极限存在，但函数值不存在，或者函数值与极限不相等。补上或改掉这一点函数值，就能把间断点变成连续点，这也是“可去”一名的来源。

对于分段函数，分段点两侧的表达式不同，左右极限必须分别用对应的一侧表达式计算。

分式 $\dfrac{g(x)}{h(x)}$ 在 $h(x_0)=0$ 处：若 $\lim_{x \to x_0}g(x)\ne 0$ ，则 $x_0$ 是无穷间断点。
$\sin\dfrac{1}{x}$ 、 $\cos\dfrac{1}{x}$ 在 $x=0$ 处通常为振荡间断点；但 $x\sin\dfrac{1}{x}$ 在 $x=0$ 处极限为 $0$ ，是可去间断点。
$\dfrac{0}{0}$ 型且函数值未定义的点，先约分再求极限。例如 $\dfrac{x^2-1}{x-1}$ 在 $x=1$ 处极限为 $2$ ，但 $f(1)$ 不存在，所以是可去间断点。

$\dfrac{\sin x}{x}$ 在 $x=0$ 处

$f(0)$ 无定义，但

\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x}=1.

左右极限相等，所以 $x=0$ 是可去间断点。补充定义 $f(0)=1$ 后，函数在 $x=0$ 处连续。

$\operatorname{sgn}(x)$ 在 $x=0$ 处

\lim_{x \to 0^-}\operatorname{sgn}(x)=-1,\qquad \lim_{x \to 0^+}\operatorname{sgn}(x)=1.

左右极限都存在但不相等，所以 $x=0$ 是跳跃间断点。

$\sin\dfrac{1}{x}$ 在 $x=0$ 处

当 $x \to 0$ 时， $\dfrac{1}{x}$ 在无穷远处振荡， $\sin\dfrac{1}{x}$ 在 $-1$ 与 $1$ 之间反复取值，极限不存在，也不趋于无穷。因此 $x=0$ 是振荡间断点。

对照可去、跳跃与无穷间断点。

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