等价无穷小

设当 $x\to x_0$ 时 $\alpha(x)\to 0$、$\beta(x)\to 0$。若

则称 $\alpha(x)$ 与 $\beta(x)$ 是当 $x\to x_0$ 时的等价无穷小，记作 $\alpha(x)\sim\beta(x)$。

等价无穷小要求两者都是无穷小，并且比值的极限为 $1$：它们同阶，主部相同。等价关系总是相对于某个趋近方式而言，$x\to 0$、$x\to 1$、$x\to\infty$ 下的等价关系不能混用。

最常用的趋近方式是 $x\to 0$，下面两张表都默认 $x\to 0$。若极限过程是 $x\to x_0$ 或 $x\to\infty$，先换元把新变量化到 $0$，再查表。

这组关系是极限计算的基础，需要熟练记忆。它们都可以由泰勒展开取最低阶非零项得到。

这组关系由泰勒展开取更高阶项，或由基本等价关系组合得到；当分子分母都是高阶无穷小时使用，余项 $o(x^n)$ 可忽略。

等价无穷小不能随意替换：替换只保证主部不变，被丢掉的低阶项在加减法中可能正是主部。

若 $\alpha\sim\alpha'$，$\beta\sim\beta'$，则

后者要求 $\lim\dfrac{\alpha'}{\beta'}$ 存在或为 $\infty$。

若 $\alpha\sim\beta$，即两者的比值趋于 $1$，则 $\alpha-\beta$ 是比它们更高阶的无穷小。把 $\alpha$、$\beta$ 各自替换成等价量，会把这个差直接变成 $0$，丢掉真正的主部。

例如 $\tan x\sim x$、$\sin x\sim x$，但

若把两者都替换成 $x$，会错误地得到 $0$。正确做法是使用扩展等价 $\tan x-\sin x\sim\dfrac{1}{2}x^3$，或直接用泰勒展开。

若 $t\to 0$ 时 $f(t)\sim g(t)$，且 $x\to x_0$ 时 $u(x)\to 0$，则

因为 $\dfrac{f(u(x))}{g(u(x))}$ 就是 $\dfrac{f(t)}{g(t)}$ 在 $t=u(x)$ 处的取值，极限仍为 $1$。

若分子分母都是 $n$ 阶无穷小，替换后的等价无穷小至少要保留到 $n$ 阶，否则会丢掉决定极限值的项。例如在 $\dfrac{e^x-1-x}{x^2}$ 中，只用 $e^x-1\sim x$ 会把分子换成 $0$，无法判断；应使用二阶等价 $e^x-1-x\sim\dfrac{1}{2}x^2$。

等价无穷小是泰勒展开的最低阶截断：$f(x)$ 等价于其展开式的第一个非零项。因此当替换失效，尤其是和差或需要高阶精度时，直接展开到与分母同阶即可，这是更通用的做法。