绝对收敛与条件收敛

对一般级数 $\sum u_n$（$u_n$ 可正可负），考察各项取绝对值后得到的正项级数 $\sum|u_n|$：

• 若 $\sum|u_n|$ 收敛，则称 $\sum u_n$ 绝对收敛；
• 若 $\sum u_n$ 收敛，但 $\sum|u_n|$ 发散，则称 $\sum u_n$ 条件收敛。

定理：若级数 $\sum u_n$ 绝对收敛，则 $\sum u_n$ 必定收敛。

例如，$\sum\dfrac{(-1)^{n-1}}{n^2}$ 绝对收敛，因为 $\sum\dfrac1{n^2}$ 是 $p=2$ 的收敛的 $p$ 级数；$\sum\dfrac{(-1)^{n-1}}{n}$ 条件收敛。判断条件收敛要两步：先证原级数收敛，再证绝对值级数发散。