知识点

幂级数

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定义

形如

\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n+\cdots

的函数项级数称为 $x$ 的幂级数，常数 $a_0,a_1,a_2,\dots$ 称为幂级数的系数。

更一般地，形如

\sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-x_0)^n

的级数称为 $(x-x_0)$ 的幂级数。令 $t=x-x_0$ ，它就化为 $\sum a_nt^n$ ，所以讨论收敛性时可以只处理 $x_0=0$ 的情形，最后把区间平移回去。

性质

收敛性与收敛半径

阿贝尔定理

设幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$ 。

若它在 $x=x_0$ （ $x_0\ne0$ ）处收敛，则对满足 $|x|<|x_0|$ 的一切 $x$ ，该幂级数绝对收敛；
若它在 $x=x_0$ 处发散，则对满足 $|x|>|x_0|$ 的一切 $x$ ，该幂级数发散。

证明

设 $\sum a_nx_0^n$ 收敛。由收敛的必要条件， $a_nx_0^n\to0$ ，于是存在常数 $M$ ，使

|a_nx_0^n|\le M

对一切 $n$ 成立。对满足 $|x|<|x_0|$ 的 $x$ ，记 $q=\left|\dfrac{x}{x_0}\right|<1$ ，则

|a_nx^n|=|a_nx_0^n|\cdot q^n\le Mq^n.

$\sum Mq^n$ 是收敛的等比级数，由比较审敛法， $\sum|a_nx^n|$ 收敛，即原幂级数在 $x$ 处绝对收敛。

第二条用反证：若存在 $|x|>|x_0|$ 使级数在 $x$ 处收敛，则由第一条，级数在 $x_0$ 处绝对收敛，与题设发散矛盾。

推论：若幂级数 $\sum a_nx^n$ 不是只在 $x=0$ 处收敛，也不是在整个实数轴上收敛，则存在正数 $R$ ，使得

当 $|x|<R$ 时，幂级数绝对收敛；
当 $|x|>R$ 时，幂级数发散；
当 $x=R$ 与 $x=-R$ 时，幂级数可能收敛也可能发散，需要单独判定。

这个 $R$ 称为幂级数的收敛半径，开区间 $(-R,R)$ 称为收敛区间。把端点 $x=\pm R$ 的敛散性判定之后，收敛区间连同收敛的端点构成收敛域。

若幂级数只在 $x=0$ 处收敛，规定 $R=0$ ；若它对一切 $x$ 都收敛，规定 $R=+\infty$ 。

收敛半径的求法

设幂级数 $\sum a_nx^n$ 的系数满足

\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\rho \qquad\text{或}\qquad \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}=\rho,

则

当 $0<\rho<+\infty$ 时， $R=\dfrac1\rho$ ；
当 $\rho=0$ 时， $R=+\infty$ ；
当 $\rho=+\infty$ 时， $R=0$ 。

证明

对 $x\ne0$ ，把比值审敛法用于绝对值级数 $\sum|a_nx^n|$ ：

\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}x^{n+1}}{a_nx^n}\right| =\rho|x|.

当 $\rho|x|<1$ ，即 $|x|<\dfrac1\rho$ 时，绝对值级数收敛；当 $\rho|x|>1$ 时，通项不趋于 $0$ ，幂级数发散。所以 $R=\dfrac1\rho$ 。用根值审敛法对 $\sum|a_nx^n|$ 开 $n$ 次方，得到同样的 $\rho|x|$ ，结论相同。

$\rho=0$ 时对任何 $x$ 都有 $\rho|x|<1$ ， $R=+\infty$ ； $\rho=+\infty$ 时对任何 $x\ne0$ 都有 $\rho|x|>1$ ， $R=0$ 。

幂级数的运算

设 $\sum a_nx^n$ 的收敛半径为 $R_1$ ， $\sum b_nx^n$ 的收敛半径为 $R_2$ ，令 $R=\min(R_1,R_2)$ 。在 $(-R,R)$ 内可以进行下列运算。

加法与减法：

\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n\pm\sum_{n=0}^{\infty}b_nx^n =\sum_{n=0}^{\infty}(a_n\pm b_n)x^n.

乘法（柯西乘积）：

\Bigl(\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n\Bigr)\Bigl(\sum_{n=0}^{\infty}b_nx^n\Bigr) =\sum_{n=0}^{\infty}c_nx^n,\qquad c_n=\sum_{k=0}^{n}a_kb_{n-k}.

除法：当 $b_0\ne0$ 且 $|x|$ 足够小时，商可以写成幂级数 $\sum d_nx^n$ ，系数 $d_n$ 用待定系数法由递推关系确定。

分析性质

幂级数在收敛区间内的三条分析性质，是它区别于一般函数项级数的关键。

连续性：和函数 $s(x)=\sum a_nx^n$ 在收敛区间 $(-R,R)$ 内连续。若幂级数在端点 $x=R$ （或 $x=-R$ ）处也收敛，则和函数在该端点处单侧连续。

逐项积分：对任意 $x\in(-R,R)$ ，

\int_0^xs(t)\,\mathrm{d}t =\int_0^x\Bigl(\sum_{n=0}^{\infty}a_nt^n\Bigr)\mathrm{d}t =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{a_n}{n+1}x^{n+1},

逐项积分后所得幂级数的收敛半径仍为 $R$ 。

逐项求导：和函数在 $(-R,R)$ 内可导，且

s'(x)=\Bigl(\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n\Bigr)' =\sum_{n=1}^{\infty}na_nx^{n-1},

逐项求导后所得幂级数的收敛半径仍为 $R$ 。

这三条性质给出了求幂级数和函数的常用路线：先逐项求导，把系数中的 $n$ 消去，化成可以套用等比级数公式的形式，求和后再逐项积分还原；有时反过来先积分再求导更方便。

例子

$\sum\dfrac{x^n}{n}$ 的收敛域

由 $\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\dfrac{n}{n+1}\to1$ 得 $R=1$ ，收敛区间为 $(-1,1)$ 。

在 $x=1$ 处，级数为调和级数 $\sum\dfrac1n$ ，发散；在 $x=-1$ 处，级数为 $\sum\dfrac{(-1)^n}{n}$ ，由莱布尼茨定理收敛。

所以收敛域为 $[-1,1)$ 。

$\sum n!x^n$ 的收敛域

由 $\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|=n+1\to+\infty$ 得 $R=0$ ，幂级数只在 $x=0$ 处收敛，收敛域为 $\{0\}$ 。

$\sum\dfrac{x^n}{n!}$ 的收敛域

由 $\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\dfrac{1}{n+1}\to0$ 得 $R=+\infty$ ，幂级数对一切 $x$ 收敛，收敛域为 $(-\infty,+\infty)$ 。

用求导与积分求和函数

当 $|x|<1$ 时，

\sum_{n=0}^{\infty}x^n=\frac{1}{1-x}.

两边逐项求导，得

\sum_{n=1}^{\infty}nx^{n-1}=\frac{1}{(1-x)^2}\qquad(|x|<1).

对 $\sum x^n=\dfrac1{1-x}$ 两边从 $0$ 到 $x$ 逐项积分，得

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n}=-\ln(1-x)\qquad(|x|<1).

探索

收敛半径能决定端点吗？

检查一个幂级数在半径内外及两个端点的行为。

正在准备演示…

题集

练习

幂级数 $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{3^n}$ 的收敛半径 $R=$ 。
参考解答
$\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\dfrac{3^n}{3^{n+1}}=\dfrac13$ ，所以 $\rho=\dfrac13$ ， $R=\dfrac1\rho=3$ 。
幂级数 $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}n!x^n$ 的收敛域是：
选择答案
A
$\{0\}$
B
$(-1,1)$
C
$[-1,1]$
D
$(-\infty,+\infty)$
参考解答
系数比值的极限为 $+\infty$ ，所以 $R=0$ ，幂级数只在 $x=0$ 处收敛。
设幂级数 $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$ 的收敛半径为 $R>0$ ，下列结论哪些一定成立？
题 properties · choice
A
在 $(-R,R)$ 内绝对收敛
B
在 $x=R$ 处必收敛
C
逐项求导后所得幂级数的收敛半径仍为 $R$
D
和函数在 $(-R,R)$ 内连续
参考解答
A、D由阿贝尔定理与连续性得到，C是逐项求导的性质。B不成立：端点处可能收敛也可能发散，例如 $\sum x^n$ 的收敛半径是 $1$ ，在 $x=1$ 处发散。