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知识点

交错级数

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定义

正负项交替出现的级数称为交错级数，一般形式为

∑n=1∞(−1)n−1un=u1−u2+u3−u4+⋯\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}u_n=u_1-u_2+u_3-u_4+\cdots

或

∑n=1∞(−1)nun=−u1+u2−u3+u4−⋯\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^nu_n=-u_1+u_2-u_3+u_4-\cdots

其中 un>0u_n>0。

莱布尼茨定理

若交错级数 ∑(−1)n−1un\sum(-1)^{n-1}u_n（un>0u_n>0）满足

  1. 数列 {un}\{u_n\} 单调递减，即 un+1≤unu_{n+1}\le u_n（n=1,2,3,…n=1,2,3,\dots）；
  2. lim⁡n→∞un=0\lim_{n\to\infty}u_n=0，

则该交错级数收敛，且其和 s≤u1s\le u_1，余项满足

∣rn∣≤un+1.|r_n|\le u_{n+1}.

满足这两个条件的交错级数也称为莱布尼茨级数。

证明

记偶数项部分和 s2ns_{2n}。由于

s2n=(u1−u2)+(u3−u4)+⋯+(u2n−1−u2n),s_{2n}=(u_1-u_2)+(u_3-u_4)+\cdots+(u_{2n-1}-u_{2n}),

每个括号非负，{s2n}\{s_{2n}\} 单调不减；又

s2n=u1−(u2−u3)−⋯−(u2n−2−u2n−1)−u2n≤u1,s_{2n}=u_1-(u_2-u_3)-\cdots-(u_{2n-2}-u_{2n-1})-u_{2n}\le u_1,

所以 {s2n}\{s_{2n}\} 有上界，收敛，设极限为 ss，且 s≤u1s\le u_1。

奇数项部分和 s2n−1s_{2n-1} 单调不增且有下界 00，也收敛；而 s2n−1−s2n=u2n→0s_{2n-1}-s_{2n}=u_{2n}\to0，故 {s2n−1}\{s_{2n-1}\} 与 {s2n}\{s_{2n}\} 趋于同一极限 ss，整个部分和数列收敛于 ss。

余项 rn=s−snr_n=s-s_n 是级数的尾部，符号由 nn 的奇偶决定；对尾部按同样的括号分组，即得 ∣rn∣≤un+1|r_n|\le u_{n+1}。

例子

∑(−1)n−1n\sum\dfrac{(-1)^{n-1}}{\sqrt n} 条件收敛

un=1nu_n=\dfrac1{\sqrt n} 单调递减且趋于 00，由莱布尼茨定理，级数收敛。但

∑∣(−1)n−1n∣=∑1n\sum\Bigl|\frac{(-1)^{n-1}}{\sqrt n}\Bigr|=\sum\frac1{\sqrt n}

是 p=12≤1p=\dfrac12\le1 的 pp 级数，发散。所以原级数条件收敛。

探索

交错调和级数的误差如何缩小？

观察部分和与莱布尼茨余项界。

正在准备演示…