正项级数的审敛法

若级数 $\sum_{n=1}^{\infty}u_n$ 的每一项都非负，即 $u_n\ge0$（$n=1,2,3,\dots$），则称它为正项级数。

正项级数的部分和数列单调不减：$s_{n+1}=s_n+u_{n+1}\ge s_n$。单调数列收敛当且仅当它有界，这一条是判断正项级数收敛的基础。

定理（正项级数收敛的充要条件）：正项级数 $\sum u_n$ 收敛的充要条件是它的部分和数列 $\{s_n\}$ 有上界。

因此判断正项级数是否收敛，只需判断部分和是否有上界，不必求出和。下面各判别法都是把这一条用到不同的比较对象上。

设 $\sum u_n$ 与 $\sum v_n$ 都是正项级数，且存在正整数 $N$，当 $n\ge N$ 时 $u_n\le v_n$。则

1. 若 $\sum v_n$ 收敛，则 $\sum u_n$ 也收敛；
2. 若 $\sum u_n$ 发散，则 $\sum v_n$ 也发散。

简记为：大的收敛则小的收敛，小的发散则大的发散。

比较时只需从某一项之后成立，前有限项不影响敛散性。常用的比较对象是 $p$ 级数：

若存在常数 $C>0$ 使 $n\ge N$ 时 $u_n\le Cv_n$，则 $\sum v_n$ 收敛时 $\sum u_n$ 也收敛；若反向有 $u_n\ge cv_n$（$c>0$），则 $\sum v_n$ 发散时 $\sum u_n$ 也发散。两个方向同时成立，即

时，两级数同敛散。

设 $\sum u_n$ 与 $\sum v_n$ 都是正项级数，且 $v_n>0$。若

则两级数同敛散。

特别地：

• 若 $l=0$ 且 $\sum v_n$ 收敛，则 $\sum u_n$ 收敛；
• 若 $l=+\infty$ 且 $\sum v_n$ 发散，则 $\sum u_n$ 发散。

极限形式不必逐项验证不等式，只需算两个通项之比的极限，因此比直接比较更常用。

设 $\sum u_n$ 是正项级数（$u_n>0$），若

则

1. 当 $\rho<1$ 时，级数收敛；
2. 当 $\rho>1$（或 $\rho=+\infty$）时，级数发散；
3. 当 $\rho=1$ 时，此方法失效，级数可能收敛也可能发散。

比值审敛法也称达朗贝尔判别法，对通项含阶乘 $n!$、幂 $a^n$ 等乘积结构的级数特别有效，因为相邻两项相除能大量约去公因子。

设 $\sum u_n$ 是正项级数（$u_n\ge0$），若

则

1. 当 $\rho<1$ 时，级数收敛；
2. 当 $\rho>1$（或 $\rho=+\infty$）时，级数发散；
3. 当 $\rho=1$ 时，此方法失效。

根值审敛法也称柯西判别法，对通项本身是 $n$ 次幂的级数特别有效：开 $n$ 次方后底数直接显现。$\rho<1$ 时，同样由 $u_n<q^n$（$q$ 满足 $\rho<q<1$）与等比级数比较得到收敛。

设 $\sum u_n$ 是正项级数。若

则级数 $\sum u_n$ 发散。

更一般地，若

则当 $p>1$ 时级数收敛，当 $p\le1$ 时级数发散。

其本质是取 $v_n=\dfrac1{n^p}$ 作比较对象，用比较审敛法的极限形式：此时 $\dfrac{u_n}{v_n}=n^pu_n\to l$，两级数同敛散，而 $p$ 级数在 $p>1$ 时收敛、$p\le1$ 时发散。