知识点

级数的柯西乘积

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定义

设两个级数分别为 $\sum u_n$ 与 $\sum v_n$ 。构造级数 $\sum w_n$ ，其中

w_n=u_1v_n+u_2v_{n-1}+\cdots+u_nv_1=\sum_{k=1}^{n}u_kv_{n+1-k}.

级数 $\sum w_n$ 称为 $\sum u_n$ 与 $\sum v_n$ 的柯西乘积。它的第 $n$ 项把所有下标之和为 $n+1$ 的乘积 $u_iv_j$ 汇总在一起。

若两个级数都收敛，且至少一个绝对收敛，则柯西乘积收敛，其和等于两个级数的和的乘积。仅有两个级数收敛不足以保证柯西乘积收敛。

列出下标之和等于n的各项乘积。