二重积分的直角坐标计算

设 $f(x,y)$ 在有界闭区域 $D$ 上连续，以下讨论先对一个变量、再对另一个变量积分。

直角坐标下的计算

在直角坐标下 $\mathrm d\sigma=\mathrm dx\,\mathrm dy$ 。把二重积分写成累次积分时，哪一层在内、哪一层在外由区域的形状决定，按外层积分变量把区域分成两类。

若 $D$ 可以表示为

D=\{(x,y):a\le x\le b,\ \varphi_1(x)\le y\le\varphi_2(x)\},

即左、右边界分别是竖直线 $x=a$ 与 $x=b$ ，下、上边界分别是连续曲线 $y=\varphi_1(x)$ 与 $y=\varphi_2(x)$ ，则

\iint_D f(x,y)\,\mathrm d\sigma=\int_a^b\left[\int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)}f(x,y)\,\mathrm dy\right]\mathrm dx .

这是先对 $y$ 、后对 $x$ 的累次积分，也称二次积分。

若 $D$ 可以表示为

D=\{(x,y):c\le y\le d,\ \psi_1(y)\le x\le\psi_2(y)\},

即下、上边界分别是水平线 $y=c$ 与 $y=d$ ，左、右边界分别是连续曲线 $x=\psi_1(y)$ 与 $x=\psi_2(y)$ ，则

\iint_D f(x,y)\,\mathrm d\sigma=\int_c^d\left[\int_{\psi_1(y)}^{\psi_2(y)}f(x,y)\,\mathrm dx\right]\mathrm dy .

同一个二重积分可以按X型或Y型两种次序计算。有时某一次序下的内层积分积不出来（例如被积函数含 $e^{-y^2}$ ），换一次序就能积。交换次序按下面的步骤进行：

X型区域： $\displaystyle\iint_D(x+y)\,\mathrm d\sigma$

取 $D=\{(x,y):0\le x\le1,\ 0\le y\le x\}$ 。这是X型区域， $\varphi_1(x)=0$ ， $\varphi_2(x)=x$ ，所以

\iint_D(x+y)\,\mathrm d\sigma =\int_0^1\left[\int_0^x(x+y)\,\mathrm dy\right]\mathrm dx =\int_0^1\left(x^2+\frac{x^2}{2}\right)\mathrm dx =\frac32\cdot\frac13=\frac12 .

交换次序： $\displaystyle\int_0^1\mathrm dx\int_x^1e^{-y^2}\,\mathrm dy$

内层 $\int e^{-y^2}\,\mathrm dy$ 没有初等原函数，按原次序积不出来。由上下限读出区域

D=\{(x,y):0\le x\le1,\ x\le y\le1\}=\{(x,y):0\le y\le1,\ 0\le x\le y\}.

交换次序后内层变成对 $x$ 的积分：

\int_0^1\mathrm dx\int_x^1e^{-y^2}\,\mathrm dy =\int_0^1\mathrm dy\int_0^ye^{-y^2}\,\mathrm dx =\int_0^1ye^{-y^2}\,\mathrm dy =\frac12\left(1-\frac1e\right).

用两种方向的切片描述同一三角形区域。

正在准备演示…

题集

$D$ 由 $y=x$ 、 $y=0$ 、 $x=1$ 围成，把 $\displaystyle\iint_D f\,\mathrm d\sigma$ 化为先对 $y$ 后对 $x$ 的累次积分，结果是：
选择答案
A
$\displaystyle\int_0^1\mathrm dx\int_0^xf\,\mathrm dy$
B
$\displaystyle\int_0^1\mathrm dx\int_x^1f\,\mathrm dy$
C
$\displaystyle\int_0^1\mathrm dy\int_0^{1-y}f\,\mathrm dx$
D
$\displaystyle\int_0^1\mathrm dy\int_y^1f\,\mathrm dx$
参考解答
$D$ 是 $0\le x\le1$ 、 $0\le y\le x$ 的三角形，所以内层对 $y$ 的积分限是 $0$ 到 $x$ 。
交换次序： $\displaystyle\int_0^1\mathrm dy\int_y^1f(x,y)\,\mathrm dx$ 等于：
选择答案
A
$\displaystyle\int_0^1\mathrm dx\int_0^xf\,\mathrm dy$
B
$\displaystyle\int_0^1\mathrm dx\int_x^1f\,\mathrm dy$
C
$\displaystyle\int_0^1\mathrm dx\int_0^{1-x}f\,\mathrm dy$
D
$\displaystyle\int_0^1\mathrm dy\int_0^yf\,\mathrm dx$
参考解答
原区域为 $0\le y\le1$ 、 $y\le x\le1$ ，等价于 $0\le x\le1$ 、 $0\le y\le x$ 。换成先对 $y$ 后对 $x$ 后，内层限是 $0$ 到 $x$ 。
$\displaystyle\int_0^1\mathrm dx\int_0^x(x+y)\,\mathrm dy=$ 。
参考解答
内层积分为 $\dfrac32x^2$ ，再对 $x$ 从 $0$ 到 $1$ 积分得 $\dfrac12$ 。