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知识点

二重积分的极坐标计算

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极坐标变换与积分公式

适用场景

当 DD 的边界由圆弧、射线组成，或者被积函数含 x2+y2x^2+y^2、yx\dfrac yx 等形式时，用极坐标通常更简单。

变换与面积元素

极坐标与直角坐标的关系为

x=rcos⁡θ,y=rsin⁡θ,r≥0.x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta,\qquad r\ge0 .

这个变换的雅可比行列式是

∂(x,y)∂(r,θ)=r,\frac{\partial(x,y)}{\partial(r,\theta)}=r ,

于是

dσ=dx dy=r dr dθ.\mathrm d\sigma=\mathrm dx\,\mathrm dy=r\,\mathrm dr\,\mathrm d\theta .

面积元素中多出的因子 rr 来自坐标变换，不能漏写。

极坐标下的公式

若区域可以沿每条选定射线写成单个径向区间，且角度范围不重复覆盖区域，即

D={(r,θ):α≤θ≤β, r1(θ)≤r≤r2(θ)},D=\{(r,\theta):\alpha\le\theta\le\beta,\ r_1(\theta)\le r\le r_2(\theta)\},

则

∬Df(x,y) dσ=∫αβ[∫r1(θ)r2(θ)f(rcos⁡θ,rsin⁡θ) r dr]dθ.\iint_D f(x,y)\,\mathrm d\sigma=\int_\alpha^\beta\left[\int_{r_1(\theta)}^{r_2(\theta)}f(r\cos\theta,r\sin\theta)\,r\,\mathrm dr\right]\mathrm d\theta .

两类常见区域

极点在区域外部且各射线与区域的交集为单个区间。 此时 θ\theta 从 α\alpha 变到 β\beta，rr 从内边界 r1(θ)r_1(\theta) 变到外边界 r2(θ)r_2(\theta)，直接使用上面的公式。

极点在区域内部且区域关于极点是星形。 若 DD 的边界曲线为 r=r(θ)r=r(\theta)，极角范围是 0≤θ≤2π0\le\theta\le2\pi，则内层积分的下限为 r=0r=0，公式简化为

∬Df(x,y) dσ=∫02π[∫0r(θ)f(rcos⁡θ,rsin⁡θ) r dr]dθ.\iint_D f(x,y)\,\mathrm d\sigma=\int_0^{2\pi}\left[\int_0^{r(\theta)}f(r\cos\theta,r\sin\theta)\,r\,\mathrm dr\right]\mathrm d\theta .

特别地，DD 是以原点为圆心、RR 为半径的圆域时 r(θ)=Rr(\theta)=R，此时

∬Df(x,y) dσ=∫02π[∫0Rf(rcos⁡θ,rsin⁡θ) r dr]dθ.\iint_D f(x,y)\,\mathrm d\sigma=\int_0^{2\pi}\left[\int_0^R f(r\cos\theta,r\sin\theta)\,r\,\mathrm dr\right]\mathrm d\theta .

极点在边界上时，若所取射线与区域的交集都从极点开始，rr 的下限为 00，θ\theta 只覆盖区域张开的角。例如 x2+y2≤2xx^2+y^2\le2x 的边界为 r=2cos⁡θr=2\cos\theta，对应 −π2≤θ≤π2-\dfrac\pi2\le\theta\le\dfrac\pi2。不满足单区间条件的区域需要分块。

例子

极点在内部：∬x2+y2≤1e−x2−y2 dσ\displaystyle\iint_{x^2+y^2\le1}e^{-x^2-y^2}\,\mathrm d\sigma

取单位圆域 DD，极点在内部，0≤θ≤2π0\le\theta\le2\pi，0≤r≤10\le r\le1，且 x2+y2=r2x^2+y^2=r^2，于是

∬De−x2−y2 dσ=∫02π[∫01e−r2r dr]dθ=2π⋅12(1−1e)=π(1−1e).\iint_De^{-x^2-y^2}\,\mathrm d\sigma =\int_0^{2\pi}\left[\int_0^1e^{-r^2}r\,\mathrm dr\right]\mathrm d\theta =2\pi\cdot\frac12\left(1-\frac1e\right) =\pi\left(1-\frac1e\right).

极点在边界上：圆域 x2+y2≤2xx^2+y^2\le2x 的面积

把 x2+y2=2xx^2+y^2=2x 配方得 (x−1)2+y2=1(x-1)^2+y^2=1，这是圆心在 (1,0)(1,0)、半径为 11 的圆。代入 x=rcos⁡θx=r\cos\theta、y=rsin⁡θy=r\sin\theta，边界化为 r2=2rcos⁡θr^2=2r\cos\theta，即 r=2cos⁡θr=2\cos\theta。极点在圆周上，θ\theta 取 −π2-\dfrac\pi2 到 π2\dfrac\pi2，rr 从 00 到 2cos⁡θ2\cos\theta，所以

A=∫−π/2π/2[∫02cos⁡θr dr]dθ=∫−π/2π/22cos⁡2θ dθ=2⋅π2=π.A=\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\left[\int_0^{2\cos\theta}r\,\mathrm dr\right]\mathrm d\theta =\int_{-\pi/2}^{\pi/2}2\cos^2\theta\,\mathrm d\theta =2\cdot\frac\pi2=\pi .

探索

极坐标的面积元素为什么有径向因子？

移动环形扇区，比较它的准确面积与面积元素近似。

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题集

练习

  1. 极坐标下二重积分的面积元素是：

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    参考解答

    变换的雅可比行列式等于 rr，所以 dσ=r dr dθ\mathrm d\sigma=r\,\mathrm dr\,\mathrm d\theta。

  2. 圆域 D:x2+y2≤2xD:x^2+y^2\le2x 的极坐标表示是：

    选择答案
    参考解答

    代入 x=rcos⁡θx=r\cos\theta、y=rsin⁡θy=r\sin\theta 得 r≤2cos⁡θr\le2\cos\theta。r≥0r\ge0 要求 cos⁡θ≥0\cos\theta\ge0，即 −π2≤θ≤π2-\dfrac\pi2\le\theta\le\dfrac\pi2，这一段覆盖整个圆。

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