三重积分的直角坐标计算

设 $\Omega$ 为有界空间区域，$f$ 在其上连续。以下公式要求所用投影与截面可积；切片不是单个区间时，可将区域分块。

直角坐标下 $\mathrm dv=\mathrm dx\,\mathrm dy\,\mathrm dz$。化为三次积分时，按“先积几个变量”分成两种做法：先对一个变量积分、再对剩下两个变量积分的叫“先一后二”，反过来叫“先二后一”。选哪种，取决于区域形状和截面面积是否容易求。

把 $\Omega$ 投影到 $xOy$ 平面，得到投影区域 $D_{xy}$。若对 $D_{xy}$ 内每一点 $(x,y)$，$z$ 的变化范围是

则

内层是对 $z$ 的定积分，结果是 $x,y$ 的函数，再对 $D_{xy}$ 做二重积分。同样可以把 $\Omega$ 投影到 $yOz$ 或 $zOx$ 平面，此时内层分别先对 $x$ 或 $y$ 积分。

用平行于某一坐标平面的平面去截 $\Omega$，得到一系列截面。例如用平行于 $xOy$ 平面的平面 $z=z_0$ 截 $\Omega$，得到截面区域 $D(z)$；设 $z$ 的变化范围是 $c_1\le z\le c_2$，则

截面法适合截面面积容易求出的情形：内层是对 $x,y$ 的二重积分，外层只对 $z$ 积分一次。