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知识点

三重积分的球面坐标计算

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变换与积分公式

设 ff 在有界空间区域 Ω\Omega 上连续。以下使用的积分限应覆盖区域一次；不能用一组积分限表示时，可以先分块。

球面坐标与直角坐标的关系为

x=rsin⁡φcos⁡θ,y=rsin⁡φsin⁡θ,z=rcos⁡φ,x=r\sin\varphi\cos\theta,\qquad y=r\sin\varphi\sin\theta,\qquad z=r\cos\varphi,

其中 r≥0r\ge0 是点到原点的距离，0≤φ≤π0\le\varphi\le\pi 是极角（与 zz 轴正向的夹角），0≤θ≤2π0\le\theta\le2\pi 是方位角（点在 xOyxOy 平面的投影与 xx 轴正向的有向角）。体积元素为

dv=r2sin⁡φ dr dφ dθ.\mathrm dv=r^2\sin\varphi\,\mathrm dr\,\mathrm d\varphi\,\mathrm d\theta .

若 Ω\Omega 在球面坐标下表示为

θ1≤θ≤θ2,φ1(θ)≤φ≤φ2(θ),r1(θ,φ)≤r≤r2(θ,φ),\theta_1\le\theta\le\theta_2,\qquad\varphi_1(\theta)\le\varphi\le\varphi_2(\theta),\qquad r_1(\theta,\varphi)\le r\le r_2(\theta,\varphi),

则

∭Ωf(x,y,z) dv=∫θ1θ2∫φ1(θ)φ2(θ)∫r1(θ,φ)r2(θ,φ)f(rsin⁡φcos⁡θ, rsin⁡φsin⁡θ, rcos⁡φ) r2sin⁡φ dr dφ dθ.\iiint_\Omega f(x,y,z)\,\mathrm dv =\int_{\theta_1}^{\theta_2}\int_{\varphi_1(\theta)}^{\varphi_2(\theta)}\int_{r_1(\theta,\varphi)}^{r_2(\theta,\varphi)} f(r\sin\varphi\cos\theta,\,r\sin\varphi\sin\theta,\,r\cos\varphi)\, r^2\sin\varphi\,\mathrm dr\,\mathrm d\varphi\,\mathrm d\theta .

上式把代入后的被积函数简记为 f(⋅)f(\cdot)，即 ff 后面那一串球面坐标表达式；球体等特殊区域也沿用这个简写。

适用场景：当 Ω\Omega 是球体、半球、锥体等，或被积函数含 x2+y2+z2x^2+y^2+z^2 时，用球面坐标比较简便。

特别地，当 Ω\Omega 是以原点为球心、RR 为半径的球体时，

∭Ωf(x,y,z) dv=∫02π∫0π∫0Rf(⋅) r2sin⁡φ dr dφ dθ.\iiint_\Omega f(x,y,z)\,\mathrm dv =\int_0^{2\pi}\int_0^{\pi}\int_0^R f(\cdot)\,r^2\sin\varphi\,\mathrm dr\,\mathrm d\varphi\,\mathrm d\theta .

例子

球面坐标：单位球的体积

取 Ω\Omega 是以原点为球心、R=1R=1 的球体。球面坐标下 0≤θ≤2π0\le\theta\le2\pi，0≤φ≤π0\le\varphi\le\pi，0≤r≤10\le r\le1，被积函数为 11，于是

V=∫02π∫0π∫01r2sin⁡φ dr dφ dθ=2π⋅2⋅13=4π3.V=\int_0^{2\pi}\int_0^{\pi}\int_0^1r^2\sin\varphi\,\mathrm dr\,\mathrm d\varphi\,\mathrm d\theta =2\pi\cdot2\cdot\frac13=\frac{4\pi}{3}.

探索

球面坐标的极角怎样限定区域？

在球的轴截面中观察极角扫出的空间区域。

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题集

练习

  1. 球面坐标下的体积元素是：

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    参考解答

    球面坐标变换的雅可比行列式为 r2sin⁡φr^2\sin\varphi，所以体积元素多出因子 r2sin⁡φr^2\sin\varphi。

  2. 上半球 x2+y2+z2≤1x^2+y^2+z^2\le1，z≥0z\ge0 的球面坐标表示是：

    选择答案
    参考解答

    z≥0z\ge0 对应 rcos⁡φ≥0r\cos\varphi\ge0，即 0≤φ≤π20\le\varphi\le\dfrac\pi2；绕 zz 轴一周对应 0≤θ≤2π0\le\theta\le2\pi。

  3. 下列情形中，适合用球面坐标计算三重积分的有哪些？

    题 spherical-fit · choice
    参考解答

    球面坐标适合球体、半球、锥面与球面围成的区域，以及含 x2+y2+z2x^2+y^2+z^2 的被积函数。圆柱体与只含 x2+y2x^2+y^2 的函数改用柱面坐标更省事，C不选。

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