三重积分 · Learning Notes

设 $\Omega$ 是空间有界闭区域， $f(x,y,z)$ 在 $\Omega$ 上有定义。三重积分把二重积分中分割、求和、取极限的过程照搬到空间区域上。本页记体积元素为 $\mathrm dv$ ，直角坐标下它写成 $\mathrm dx\,\mathrm dy\,\mathrm dz$ ； $\Omega$ 的体积记作 $V$ ， $\Omega$ 的边界曲面假设充分光滑，被积函数连续。

定义

把 $\Omega$ 任意分成 $n$ 个小闭区域 $\Delta v_1,\Delta v_2,\dots,\Delta v_n$ ，记号 $\Delta v_i$ 既表示第 $i$ 个小闭区域，也表示它的体积。在每个 $\Delta v_i$ 内任取一点 $(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)$ ，作和式

\sum_{i=1}^{n}f(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)\Delta v_i .

记 $\lambda$ 为各小闭区域直径的最大值。若 $\lambda\to0$ 时上述和式的极限存在，且极限值与 $\Omega$ 的划分方式、取点方式都无关，则称此极限为 $f(x,y,z)$ 在空间闭区域 $\Omega$ 上的三重积分，记作

\iiint_\Omega f(x,y,z)\,\mathrm dv=\lim_{\lambda\to0}\sum_{i=1}^{n}f(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)\Delta v_i .

其中 $\Omega$ 是积分区域， $f(x,y,z)$ 是被积函数， $\mathrm dv$ 是体积元素。

物理意义

若空间物体占有区域 $\Omega$ ，体密度为 $\rho(x,y,z)$ ，则物体的质量为

M=\iiint_\Omega\rho(x,y,z)\,\mathrm dv .

当 $f(x,y,z)\equiv1$ 时， $\iiint_\Omega\mathrm dv$ 等于区域 $\Omega$ 的体积：

\iiint_\Omega\mathrm dv=V .

例子

单位立方体的体积

被积函数为 $1$ 时， $[0,1]^3$ 上的三重积分等于区域体积 $1$ 。

探索

常数1的三重积分表示什么？

改变长方体边长，观察体积积分。

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题集

练习

$\displaystyle\iiint_{[0,1]^3}\mathrm dv=$ 。
参考解答
被积函数为 $1$ 时，三重积分的值等于区域体积。单位立方体的体积是 $1$ 。