二重积分的概念与性质

设 $D$ 是 $xOy$ 平面上的有界闭区域，其边界面积为零， $f(x,y)$ 是定义在 $D$ 上的函数。二重积分把“分割、求和、取极限”的过程搬到二维区域上，结果是一个数 $\iint_D f\,\mathrm d\sigma$ 。本页记面积元素为 $\mathrm d\sigma$ ，它在直角坐标下写成 $\mathrm dx\,\mathrm dy$ ；区域 $D$ 的面积记为 $A$ 。

背景

曲顶柱体的体积

设空间中的柱体以 $D$ 为底面，侧面以 $D$ 的边界为准线、母线平行于 $z$ 轴，顶面是连续函数 $z=f(x,y)$ 的图像，且 $f(x,y)\ge 0$ 。这样的立体称为曲顶柱体。

求它的体积 $V$ 时，把 $D$ 分成许多小区域，每一小块上用“平顶”柱体近似“曲顶”柱体，再把所有小体积相加并取极限。

平面薄片的质量

设 $xOy$ 平面上有一块占有区域 $D$ 的薄片，其面密度由连续函数 $\rho(x,y)$ 给出，且不为常数。把薄片分成若干小块，假定每一小块内密度均匀，求出各小块质量的近似值，再求和、取极限，就得到总质量 $M$ 。

定义

定义从对平面区域的分割与求和出发，可以概括为四步：

分割

把闭区域 $D$ 任意分成 $n$ 个小闭区域 $\Delta\sigma_1,\Delta\sigma_2,\dots,\Delta\sigma_n$ ，它们的面积也记作 $\Delta\sigma_i$ 。同一个记号既表示小区域，也表示它的面积。
近似

在每个 $\Delta\sigma_i$ 内任取一点 $(\xi_i,\eta_i)$ ，用乘积 $f(\xi_i,\eta_i)\Delta\sigma_i$ 作为这一小块上部分量的近似值。
求和

把所有小块的近似值相加，得到和式
$\sum_{i=1}^{n}f(\xi_i,\eta_i)\Delta\sigma_i .$
取极限

记 $\lambda$ 为各小区域直径的最大值，令 $\lambda\to0$ ，考察上述和式的极限。

若这个极限存在，并且极限值与 $D$ 的分法、每块内所取点 $(\xi_i,\eta_i)$ 的取法都无关，则称此极限为 $f(x,y)$ 在闭区域 $D$ 上的二重积分，记作

\iint_D f(x,y)\,\mathrm d\sigma=\lim_{\lambda\to0}\sum_{i=1}^{n}f(\xi_i,\eta_i)\Delta\sigma_i .

记号各部分的名称：

$\iint$ ：二重积分号；
$D$ ：积分区域；
$f(x,y)$ ：被积函数；
$\mathrm d\sigma$ ：面积元素，直角坐标下常写作 $\mathrm dx\,\mathrm dy$ 。

性质

以下设 $f$ 、 $g$ 在 $D$ 上可积， $A$ 是 $D$ 的面积。这些性质用于估计积分值、比较两个积分的大小，以及把区域拆开分别计算。

线性性质

设 $\alpha,\beta$ 为常数，则

\iint_D[\alpha f(x,y)+\beta g(x,y)]\,\mathrm d\sigma=\alpha\iint_D f\,\mathrm d\sigma+\beta\iint_D g\,\mathrm d\sigma .

区域可加性

若 $D$ 被分成两个互不重叠（只允许边界相交）的子区域 $D_1$ 与 $D_2$ ，则

\iint_D f\,\mathrm d\sigma=\iint_{D_1}f\,\mathrm d\sigma+\iint_{D_2}f\,\mathrm d\sigma .

面积性质

若在 $D$ 上 $f(x,y)\equiv1$ ，则

\iint_D 1\,\mathrm d\sigma=\iint_D\mathrm d\sigma=A .

比较性质与保号性

若在 $D$ 上 $f(x,y)\le g(x,y)$ ，则

\iint_D f\,\mathrm d\sigma\le\iint_D g\,\mathrm d\sigma .

特别地，若在 $D$ 上 $f(x,y)\ge0$ ，则 $\iint_D f\,\mathrm d\sigma\ge0$ ，这一条也称保号性。

对 $-|f|\le f\le|f|$ 用两次比较性质，得到

\left|\iint_D f\,\mathrm d\sigma\right|\le\iint_D|f|\,\mathrm d\sigma .

估值定理

设 $M$ 、 $m$ 分别是 $f$ 在 $D$ 上的最大值与最小值，则

mA\le\iint_D f(x,y)\,\mathrm d\sigma\le MA .

中值定理

设 $D$ 连通且面积 $A>0$ ， $f$ 在 $D$ 上连续，则 $D$ 中至少存在一点 $(\xi,\eta)$ ，使

\iint_D f(x,y)\,\mathrm d\sigma=f(\xi,\eta)\,A .

证明中值定理的证明

$f$ 在有界闭区域 $D$ 上连续，因此在 $D$ 上取到最小值 $m$ 与最大值 $M$ ，依据见多元函数的连续性中有界闭区域上连续函数的性质。由估值定理，

m\le\frac1A\iint_D f\,\mathrm d\sigma\le M .

$D$ 是连通区域，连续函数在连通区域上取到 $m$ 与 $M$ 之间的每一个值，所以存在 $(\xi,\eta)\in D$ 使

f(\xi,\eta)=\frac1A\iint_D f\,\mathrm d\sigma ,

两边乘以 $A$ 即得结论。

例子

曲顶柱体的体积： $z=1-x-y$ 在三角形区域上

取

D=\{(x,y):x\ge 0,\ y\ge 0,\ x+y\le 1\},\qquad f(x,y)=1-x-y .

在 $D$ 上 $f\ge 0$ ，对应的曲顶柱体是以 $D$ 为底面、顶点在原点上方的四面体，四个顶点为

(0,0,0),\quad(1,0,0),\quad(0,1,0),\quad(0,0,1).

它的体积为 $\dfrac16$ ，所以

\iint_D(1-x-y)\,\mathrm d\sigma=\frac16 .

左边是按定义写出的二重积分，右边是这个立体的几何体积。把二重积分化为累次积分的方法见二重积分的直角坐标计算。

用估值定理估计积分

设 $D=[0,1]\times[0,1]$ ， $f(x,y)=\dfrac1{1+x+y}$ 。 $D$ 的面积为 $1$ ， $f$ 的最小值在 $(1,1)$ 处为 $\dfrac13$ ，最大值在 $(0,0)$ 处为 $1$ ，于是

\frac13\le\iint_D\frac{\mathrm d\sigma}{1+x+y}\le 1 .

中值定理的数值含义

设 $f$ 在有界闭区域 $D$ 上连续， $D$ 的面积为 $3$ ，且 $\iint_D f\,\mathrm d\sigma=6$ 。由中值定理， $D$ 中存在一点 $(\xi,\eta)$ 使

f(\xi,\eta)=\frac{6}{3}=2 .

积分值等于“某一点的函数值乘以区域面积”，这里的 $2$ 就是 $f$ 在 $D$ 上的平均值。

探索

二重积分怎样由小区域求和得到？

用中点和逼近单位正方形上的积分。