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三重积分的柱面坐标计算

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变换与积分公式

设 ff 在有界空间区域 Ω\Omega 上连续。若区域不能用一组柱面坐标积分限表示，可以将其分块后分别计算。

柱面坐标是极坐标的推广，与直角坐标的关系为

x=rcos⁡θ,y=rsin⁡θ,z=z,x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta,\qquad z=z,

其中 r≥0r\ge0，0≤θ≤2π0\le\theta\le2\pi，−∞<z<+∞-\infty<z<+\infty。体积元素为

dv=r dr dθ dz.\mathrm dv=r\,\mathrm dr\,\mathrm d\theta\,\mathrm dz .

若 Ω\Omega 在柱面坐标下表示为

α≤θ≤β,r1(θ)≤r≤r2(θ),z1(r,θ)≤z≤z2(r,θ),\alpha\le\theta\le\beta,\qquad r_1(\theta)\le r\le r_2(\theta),\qquad z_1(r,\theta)\le z\le z_2(r,\theta),

则

∭Ωf(x,y,z) dv=∫αβ∫r1(θ)r2(θ)∫z1(r,θ)z2(r,θ)f(rcos⁡θ,rsin⁡θ,z) r dz dr dθ.\iiint_\Omega f(x,y,z)\,\mathrm dv =\int_\alpha^\beta\int_{r_1(\theta)}^{r_2(\theta)}\int_{z_1(r,\theta)}^{z_2(r,\theta)}f(r\cos\theta,r\sin\theta,z)\,r\,\mathrm dz\,\mathrm dr\,\mathrm d\theta .

适用场景：当 Ω\Omega 的侧面是圆柱面、锥面等旋转曲面，或被积函数含 x2+y2x^2+y^2 时，用柱面坐标通常比直角坐标省事。

例子

柱面坐标：∭x2+y2≤1, 0≤z≤1z dv\displaystyle\iiint_{x^2+y^2\le1,\ 0\le z\le1}z\,\mathrm dv

区域是单位圆柱体，柱面坐标下 0≤θ≤2π0\le\theta\le2\pi，0≤r≤10\le r\le1，0≤z≤10\le z\le1，体积元素为 r dz dr dθr\,\mathrm dz\,\mathrm dr\,\mathrm d\theta，所以

∭Ωz dv=∫02π∫01∫01z r dz dr dθ=2π⋅12⋅12=π2.\iiint_\Omega z\,\mathrm dv =\int_0^{2\pi}\int_0^1\int_0^1z\,r\,\mathrm dz\,\mathrm dr\,\mathrm d\theta =2\pi\cdot\frac12\cdot\frac12=\frac\pi2 .

探索

圆柱体的积分限怎样对应空间区域？

改变半径和高度，比较圆柱形区域与柱面坐标积分。

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题集

练习

  1. 柱面坐标下的体积元素是：

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    参考解答

    柱面坐标只是把平面极坐标与 zz 拼起来，平面部分的面积元素是 r dr dθr\,\mathrm dr\,\mathrm d\theta，再乘 dz\mathrm dz 即得。

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