多元函数的连续性

设 $f(x,y)$ 在点 $P_0(x_0,y_0)$ 的某个邻域内有定义。若

则称 $f$ 在 $P_0$ 处连续。这个等式同时要求：$f(P_0)$ 有定义、二重极限存在、极限值等于函数值。

若 $f$ 在包含点集 $D$ 的开集上有定义，并在 $D$ 中每一点连续，则称 $f$ 在 $D$ 上连续。

一切多元初等函数在其定义区域内都是连续的。因此求这类函数的二重极限时，若极限点位于定义区域内，可以直接代入。

在有界闭区域上连续的多元函数必定有最大值和最小值，并且在该区域上有界。