向量的数量积 · Learning Notes

定义

设 $\mathbf{a}=(a_1,a_2,a_3)$ 、 $\mathbf{b}=(b_1,b_2,b_3)$ 、 $\mathbf{c}=(c_1,c_2,c_3)$ ， $\theta$ 是非零向量 $\mathbf{a}$ 与 $\mathbf{b}$ 的夹角。

两个向量的数量积（点积、内积）是一个数：

\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=|\mathbf{a}|\,|\mathbf{b}|\cos\theta.

只要有一个因子是零向量，数量积规定为 $0$ 。在坐标下

\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3.

它的几何意义是“一个向量的模乘以另一个向量在它方向上的投影”：

\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=|\mathbf{a}|\operatorname{Prj}_{\mathbf a}\mathbf{b} =|\mathbf{b}|\operatorname{Prj}_{\mathbf b}\mathbf{a},

其中投影的定义见向量及其线性运算。恒力 $\mathbf{F}$ 沿位移 $\mathbf{s}$ 做的功就是 $W=\mathbf{F}\cdot\mathbf{s}$ ，这是数量积最直接的物理来源。

\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=\mathbf{b}\cdot\mathbf{a},\qquad \mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}+\mathbf{c})=\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}+\mathbf{a}\cdot\mathbf{c},\qquad (\lambda\mathbf{a})\cdot\mathbf{b}=\lambda(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}),

\mathbf{a}\cdot\mathbf{a}=|\mathbf{a}|^2,\qquad |\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}|\le|\mathbf{a}|\,|\mathbf{b}|.

后一条是柯西不等式。由定义还能得到两个常用判据：

\cos\theta=\frac{\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}}{|\mathbf{a}|\,|\mathbf{b}|} \quad(\mathbf{a},\mathbf{b}\ne\mathbf{0}), \qquad \mathbf{a}\perp\mathbf{b}\iff\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=0\quad(\mathbf{a},\mathbf{b}\ne\mathbf{0}).

数量积、夹角与垂直

取 $\mathbf{a}=(1,2,2)$ ， $\mathbf{b}=(2,-1,0)$ ，则

\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=1\cdot2+2\cdot(-1)+2\cdot0=0,

所以两向量垂直。若改取 $\mathbf{u}=(1,0,0)$ ， $\mathbf{v}=(1,1,0)$ ，则

\cos\theta=\frac{\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}}{|\mathbf{u}|\,|\mathbf{v}|} =\frac{1}{1\cdot\sqrt2}=\frac{\sqrt2}{2},

即夹角为 $45^\circ$ 。

固定向量长度，观察数量积的符号。

正在准备演示…

题集

设 $\mathbf{a}=(1,2,2)$ ， $\mathbf{b}=(2,0,1)$ ，则 $\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=$ 。
参考解答
按分量相乘再相加： $1\cdot2+2\cdot0+2\cdot1=4$ 。
向量 $(1,0,0)$ 与 $(1,1,0)$ 的夹角是：
选择答案
A
$30^\circ$
B
$45^\circ$
C
$60^\circ$
D
$90^\circ$
参考解答
数量积为 $1$ ，两向量的模分别为 $1$ 与 $\sqrt2$ ，所以 $\cos\theta=\frac{\sqrt2}{2}$ 。
设 $\mathbf{a}=(1,2,\lambda)$ 与 $\mathbf{b}=(2,3,1)$ 垂直，则 $\lambda=$ 。
参考解答
由数量积为零得 $1\cdot2+2\cdot3+\lambda\cdot1=0$ ，即 $\lambda=-8$ 。