向量积

设 $\mathbf{a}=(a_1,a_2,a_3)$、$\mathbf{b}=(b_1,b_2,b_3)$、$\mathbf{c}=(c_1,c_2,c_3)$，$\theta$ 是非零向量 $\mathbf{a}$ 与 $\mathbf{b}$ 的夹角。

两个向量的向量积（叉积、外积）是一个向量 $\mathbf{a}\times\mathbf{b}$，由模和方向共同确定：

1. 模 $|\mathbf{a}\times\mathbf{b}|=|\mathbf{a}|\,|\mathbf{b}|\sin\theta$，等于以 $\mathbf{a},\mathbf{b}$ 为邻边的平行四边形的面积；
2. 方向同时垂直于 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$，并且 $\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{a}\times\mathbf{b}$ 依次构成右手系，这就是右手定则。

$\mathbf{a}\times\mathbf{b}=\mathbf{0}$ 当且仅当 $\mathbf{a}$ 与 $\mathbf{b}$ 共线，包括其中一个是零向量的情形。

坐标公式是形式行列式，按第一行展开：

第一条是反交换律：交换两个因子，结果反向。最后一条说明向量积的结果确实同时垂直于两个因子。模还满足拉格朗日恒等式

代入 $\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=|\mathbf{a}|\,|\mathbf{b}|\cos\theta$ 即得 $|\mathbf{a}\times\mathbf{b}|=|\mathbf{a}|\,|\mathbf{b}|\sin\theta$，与几何定义一致；证明见下文。

向量积的两个直接用途：结果向量是同时垂直于 $\mathbf{a},\mathbf{b}$ 的法方向，单位化后可作为法向量；它的模给出平行四边形面积，三角形面积为 $\frac12|\mathbf{a}\times\mathbf{b}|$。需要单位法向量时，把 $\mathbf{a}\times\mathbf{b}$ 除以它的模，方向由右手定则确定；若题目要求指向某一侧，整体取反即可，不要改动两个因子的顺序。

坐标公式与几何定义一致

记 $\mathbf{p}=\mathbf{a}\times\mathbf{b}$。按坐标公式展开模的平方：

另一方面，展开 $|\mathbf{a}|^2|\mathbf{b}|^2-(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b})^2$：

右端的三项正是 $|\mathbf{p}|^2$ 的三项，因此

当 $0\le\theta\le\pi$ 时 $\sin\theta\ge0$，开方得 $|\mathbf{a}\times\mathbf{b}|=|\mathbf{a}|\,|\mathbf{b}|\sin\theta$，与几何定义中的模一致。

再看方向。按坐标公式，

同法可得 $\mathbf{b}\cdot(\mathbf{a}\times\mathbf{b})=0$，所以结果同时垂直于两个因子。坐标式还满足 $\mathbf i\times\mathbf j=\mathbf k$，与右手定则的方向一致；结合双线性，可确定非平行因子的方向。