二次曲面 · Learning Notes

定义

三元二次方程（各项次数都不超过 $2$ ）所表示的曲面称为二次曲面。通过坐标平移与旋转化简后，常见类型可以用标准方程识别；下表均取 $a,b,c>0$ 。

名称	标准方程	形状要点
椭球面	$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}+\dfrac{z^2}{c^2}=1$	有界；三个方向的截痕都是椭圆
椭圆抛物面	$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=z$	碗状， $z\ge 0$ ，顶点在原点，向 $z$ 轴正向无限张开
双曲抛物面（马鞍面）	$\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=z$	鞍形； $y=0$ 的截痕开口向上， $x=0$ 的截痕开口向下， $z=0$ 的截痕是两条相交直线
单叶双曲面	$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}-\dfrac{z^2}{c^2}=1$	连成一片，形如冷却塔； $z=z_0$ 的截痕总是椭圆， $z=0$ 处最细
双叶双曲面	$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}-\dfrac{z^2}{c^2}=-1$	分成两支， $\vert z\vert\ge c$ ；只有 $\vert z_0\vert\ge c$ 时才有截痕
二次锥面	$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=z^2$	顶点在原点； $z=z_0\ne 0$ 时截痕是椭圆， $z_0=0$ 时缩成顶点

双叶双曲面也可以写成 $\dfrac{z^2}{c^2}-\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$ 。轮换 $x,y,z$ 就得到沿其他坐标轴张开的形式，例如 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}-\dfrac{z^2}{c^2}=1$ 的两支沿 $x$ 轴方向张开。

例子

用截痕法识别 $\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{9}+z^2=1$

用 $z=z_0$ 去截：

\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1-z_0^2 .

右端必须非负，所以 $\vert z_0\vert\le 1$ 。此时截痕是椭圆，半轴分别为 $2\sqrt{1-z_0^2}$ 与 $3\sqrt{1-z_0^2}$ ，随 $\vert z_0\vert$ 增大而缩小； $z_0=\pm1$ 时缩成点 $(0,0,\pm1)$ 。

再用 $y=0$ 去截：

\frac{x^2}{4}+z^2=1,

也是椭圆，半轴为 $2$ 与 $1$ 。

三个方向的截痕都是有界椭圆，所以这是半轴为 $2,3,1$ 的椭球面，不是双曲面或抛物面。

用截痕法识别 $z=x^2-y^2$

用 $y=0$ 截： $z=x^2$ ，开口向上的抛物线。
用 $x=0$ 截： $z=-y^2$ ，开口向下的抛物线。
用 $z=0$ 截： $x^2=y^2$ ，即 $y=x$ 或 $y=-x$ ，退化成两条相交直线。

两个方向的截痕弯曲方向相反，中间位置退化成两条直线，这正是双曲抛物面（马鞍面）的截痕特征。若换成 $z=x^2+y^2$ ，两个方向的截痕都开口向上， $z=0$ 只截得一点，那是椭圆抛物面。

探索

截面如何区分二次曲面？

比较球面和双曲抛物面的水平截痕。

正在准备演示…

题集

练习

$\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{9}-z^2=1$ 是哪种曲面？
选择答案
A
单叶双曲面
B
双叶双曲面
C
二次锥面
D
椭球面
参考解答
左端两个平方项为正、一个为负，右端为 $1$ 。用 $z=z_0$ 截得的截痕总是椭圆，且 $z=0$ 处最小，曲面连成一片，所以是单叶双曲面；右端改成 $-1$ 才会分成两支。
$z=\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}$ 是哪种曲面？
选择答案
A
椭球面
B
椭圆抛物面
C
双曲抛物面
D
单叶双曲面
参考解答
两个二次项异号，且方程中 $z$ 是一次的，所以是双曲抛物面（马鞍面）。只需看 $y=0$ 与 $x=0$ 两条截痕的开口方向相反即可确认。