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知识点

曲面及其方程

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定义

曲面与它的方程

在空间直角坐标系 O−xyzO-xyz 中，设 SS 是一个曲面。若三元方程

F(x,y,z)=0F(x,y,z)=0

满足：SS 上每一点的坐标都满足该方程，且不在 SS 上的点的坐标都不满足该方程，则称该方程为曲面 SS 的方程，SS 为该方程的图形。

两个条件缺一不可。少了第一条，SS 上的点被漏掉；少了第二条，方程会同时描述一个更大的点集。

曲面研究的两个基本问题

  1. 已知曲面，求方程：把曲面的几何特征（到定点的距离、与定直线或定平面的关系等）翻译成坐标之间的数量关系，再化简。
  2. 已知方程，研究形状：用截痕法，由截痕的形状和变化反推曲面。

截痕法指用平行于坐标面的平面去截曲面，把三维问题化成一族平面曲线的问题：

  1. 选截平面

    取 x=x0x=x_0、y=y0y=y_0 或 z=z0z=z_0，其中 x0x_0 等是常数。把常数代入曲面方程，就得到该平面内的一条曲线方程。

  2. 识别截痕

    判断曲线是椭圆、抛物线、双曲线、圆，还是退化成直线或一点。

  3. 比较不同位置的截痕

    让 x0x_0 或 z0z_0 变动，观察截痕的大小、位置和出现范围，拼出整个曲面。

探索

水平截面怎样揭示曲面的形状？

移动截平面，查看单位球面的截痕。

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