知识点

平面及其方程

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定义

过一点并与一个非零向量垂直的点的全体构成一个平面，这个非零向量称为平面的法向量。因此确定一个平面需要两个要素：平面上的一点，以及平面的一个法向量。

设平面过点 $M_0(x_0,y_0,z_0)$ ，法向量为 $\mathbf{n}=(A,B,C)$ ，其中 $A,B,C$ 不全为零。点 $M(x,y,z)$ 在该平面上，当且仅当向量

\overrightarrow{M_0M}=(x-x_0,\ y-y_0,\ z-z_0)

与 $\mathbf{n}$ 垂直，即 $\mathbf{n}\cdot\overrightarrow{M_0M}=0$ 。写成坐标形式得到点法式方程

A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0.

展开并合并常数项，点法式化为一般方程

Ax+By+Cz+D=0,

其中 $A,B,C$ 不全为零， $D=-(Ax_0+By_0+Cz_0)$ 。反过来，任一满足 $A,B,C$ 不全为零的上述方程都表示一个平面，且 $(A,B,C)$ 就是它的一个法向量：取平面上一点 $M_0$ ，把方程移项就能写成以 $M_0$ 为已知点的点法式。

若平面与三条坐标轴分别交于 $P(a,0,0)$ 、 $Q(0,b,0)$ 、 $R(0,0,c)$ ，且 $a,b,c$ 都不为零，把三点坐标代入一般方程可解出系数，得到截距式方程

\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1,

$a,b,c$ 称为平面在三条坐标轴上的截距。

同一平面的一般方程不唯一：方程两边乘以同一个非零常数仍是同一个平面，所以 $(A,B,C)$ 与 $D$ 只能确定到相差一个非零倍数。用哪个倍数求法向量、算夹角都不影响结果。

特殊位置的平面

一般方程中某些系数为零时，平面的位置有确定的几何含义：

系数条件	平面的位置
$D=0$	过原点 $(0,0,0)$
$A=0$	平行于 $x$ 轴（ $D=0$ 时通过 $x$ 轴）
$B=0$	平行于 $y$ 轴（ $D=0$ 时通过 $y$ 轴）
$C=0$	平行于 $z$ 轴（ $D=0$ 时通过 $z$ 轴）
$A=B=0$	平行于 $xOy$ 坐标面，即垂直于 $z$ 轴
$A=C=0$	平行于 $xOz$ 坐标面，即垂直于 $y$ 轴
$B=C=0$	平行于 $yOz$ 坐标面，即垂直于 $x$ 轴

规律是：方程中缺少哪个变量，平面就平行于哪条坐标轴；缺少两个变量时，平面平行于由这两个变量确定的坐标面。

性质

两平面的夹角

设平面 $\Pi_1$ 、 $\Pi_2$ 的法向量分别为 $\mathbf{n}_1=(A_1,B_1,C_1)$ 、 $\mathbf{n}_2=(A_2,B_2,C_2)$ 。两平面的夹角 $\theta$ 取 $\left[0,\dfrac{\pi}{2}\right]$ ，等于两法向量夹角或其补角，因此

\cos\theta =\frac{\lvert \mathbf{n}_1\cdot\mathbf{n}_2\rvert}{\lvert \mathbf{n}_1\rvert\,\lvert \mathbf{n}_2\rvert} =\frac{\lvert A_1A_2+B_1B_2+C_1C_2\rvert} {\sqrt{A_1^2+B_1^2+C_1^2}\sqrt{A_2^2+B_2^2+C_2^2}}.

夹角按锐角定义，所以分子取绝对值。用法向量直接算出的夹角可能是钝角，取绝对值后才等于两平面的夹角。

两平面的位置关系

关系	条件
垂直	$\mathbf{n}_1\cdot\mathbf{n}_2=0$ ，即 $A_1A_2+B_1B_2+C_1C_2=0$
平行	$\mathbf{n}_1\parallel\mathbf{n}_2$ ，即 $\mathbf{n}_1\times\mathbf{n}_2=\mathbf{0}$
重合	$\mathbf{n}_1\parallel\mathbf{n}_2$ ，且两平面有公共点

法向量平行时常用分量比例式 $\dfrac{A_1}{A_2}=\dfrac{B_1}{B_2}=\dfrac{C_1}{C_2}$ 表示平行。

点到平面的距离

点 $P_0(x_0,y_0,z_0)$ 到平面 $Ax+By+Cz+D=0$ 的距离为

d=\frac{\lvert Ax_0+By_0+Cz_0+D\rvert}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}.

这个公式是向量 $\overrightarrow{P_1P_0}$ （ $P_1$ 为平面上任一点）在法向量方向上投影的长度；分子必须取绝对值，否则得到的是带符号的投影。

例子

由点和法向量写平面方程

求过点 $M_0(1,-2,3)$ 、以 $\mathbf{n}=(2,1,-1)$ 为法向量的平面方程。

代入点法式：

2(x-1)+(y+2)-(z-3)=0,

整理得

2x+y-z+3=0.

把 $M_0$ 的坐标代回检验，左边为 $2-2-3+3=0$ ，方程成立。

由三点求平面方程

求过 $A(1,0,0)$ 、 $B(0,2,0)$ 、 $C(0,0,3)$ 的平面方程。

$\overrightarrow{AB}=(-1,2,0)$ ， $\overrightarrow{AC}=(-1,0,3)$ ，两者不共线，取

\mathbf{n}=\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC} =\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\ -1 & 2 & 0\\ -1 & 0 & 3 \end{vmatrix} =(6,\ 3,\ 2).

以 $A$ 为已知点写点法式：

6(x-1)+3y+2z=0,

即 $6x+3y+2z-6=0$ 。三个截距正好是 $1$ 、 $2$ 、 $3$ ，与截距式 $\dfrac{x}{1}+\dfrac{y}{2}+\dfrac{z}{3}=1$ 一致。

点到平面的距离

求点 $P_0(1,1,1)$ 到平面 $2x-y+2z-6=0$ 的距离。

d=\frac{\lvert 2-1+2-6\rvert}{\sqrt{4+1+4}}=\frac{3}{3}=1.

求平面方程的方法

求平面方程的核心是找法向量。

判断已知条件的类型

已知一点和法向量时直接用点法式；已知三点、一点与两个方向向量、或平面平行于两个已知向量时，先由向量积求法向量。
求法向量

过不共线三点 $A,B,C$ 的平面取 $\mathbf{n}=\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}$ ；平行于两个不平行向量 $\mathbf{a}$ 、 $\mathbf{b}$ 的平面取 $\mathbf{n}=\mathbf{a}\times\mathbf{b}$ 。
代入并整理

用平面上的一个点写出点法式，再整理成一般方程；也可以设 $Ax+By+Cz+D=0$ ，把已知点的坐标代入解出系数。

探索

平面方程如何约束空间点？

改变两个坐标，计算平面上的第三个坐标。

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题集

练习

平面 $2x-3y+z-5=0$ 的一个法向量是：
选择答案
A
$(2,-3,1)$
B
$(2,3,1)$
C
$(-2,3,1)$
D
$(2,-3,-5)$
参考解答
一般方程 $Ax+By+Cz+D=0$ 中， $(A,B,C)$ 就是法向量，常数项 $D$ 不参与。
点 $P(1,1,1)$ 到平面 $2x-y+2z-6=0$ 的距离是。
参考解答
分子为 $\lvert 2-1+2-6\rvert=3$ ，分母为 $\sqrt{4+1+4}=3$ ，所以 $d=1$ 。
平面 $x+2y-2z+1=0$ 与 $2x+4y-4z-3=0$ 的位置关系是：
选择答案
A
平行
B
垂直
C
相交但不垂直
D
重合
参考解答
法向量 $(1,2,-2)$ 与 $(2,4,-4)$ 成比例，两平面平行。若重合，第一个方程乘 $2$ 应与第二个方程相同，但常数项会变成 $2$ ，与 $-3$ 不符，所以不重合。
平面 $\dfrac{x}{2}+\dfrac{y}{-3}+\dfrac{z}{4}=1$ 在 $z$ 轴上的截距是。
参考解答
令 $x=y=0$ ，得 $\dfrac{z}{4}=1$ ，即 $z=4$ 。
过 $A(1,0,0)$ 、 $B(0,2,0)$ 、 $C(0,0,3)$ 的平面方程可写成 $6x+3y+2z+D=0$ ，则 $D=$ 。
参考解答
把 $A(1,0,0)$ 代入得 $6+D=0$ ，所以 $D=-6$ 。