向量及其线性运算

空间中既有大小又有方向的量称为向量，用粗体字母 $\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}$ 表示。向量的长度称为模，记作 $|\mathbf{a}|$。模为 $1$ 的向量称为单位向量，模为 $0$ 的向量称为零向量，记作 $\mathbf{0}$。

向量由模和方向确定，与起点的位置无关：模相等、方向相同的两个向量视为同一个向量，因此可以平移后再比较。模相等、方向相反的向量互为负向量，$\mathbf{a}$ 的负向量记作 $-\mathbf{a}$。方向相同或相反的非零向量称为共线向量，也称平行向量，记作 $\mathbf{a}\parallel\mathbf{b}$；并规定零向量与任何向量平行。

对非零向量 $\mathbf{a}$，与它同向的单位向量为

取两两垂直的 $x$ 轴、$y$ 轴、$z$ 轴，使 $x\to y\to z$ 的方向符合右手定则，得到右手系 $O-xyz$。沿三个轴的正向各取单位向量 $\mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}$，它们构成一组基。空间任一点 $P$ 的位置向量 $\overrightarrow{OP}$ 可以唯一地写成

有序三元组 $(a_x,a_y,a_z)$ 就是向量 $\overrightarrow{OP}$ 在这组基下的坐标，$a_x,a_y,a_z$ 分别称为它在 $x,y,z$ 轴方向上的分量。

以 $M_1(x_1,y_1,z_1)$ 为起点、$M_2(x_2,y_2,z_2)$ 为终点的向量按“终点减起点”计算：

零向量的坐标是 $(0,0,0)$。坐标依赖所选的基，本节所有坐标公式都在同一组基下计算。

设 $\mathbf{a}=(a_1,a_2,a_3)$，$\mathbf{b}=(b_1,b_2,b_3)$，$\lambda\in\mathbb{R}$，则加减法与数乘都按分量进行：

由定义可直接得到

对 $\mathbf{b}\ne\mathbf{0}$，$\mathbf{a}\parallel\mathbf{b}$ 当且仅当存在唯一实数 $\lambda$ 使

即 $(a_1,a_2,a_3)=\lambda(b_1,b_2,b_3)$。若 $b_1,b_2,b_3$ 都不为零，这个条件可以写成比值形式

$\lambda>0$ 时两向量同向，$\lambda<0$ 时反向，$|\lambda|$ 是两者模之比。

比值形式默认分母不为零。 若 $\mathbf{b}$ 有分量为 $0$，对应的 $\mathbf{a}$ 分量也必须为 $0$，这时应回到 $\mathbf{a}=\lambda\mathbf{b}$ 判断；直接写比值会漏掉这类情形。

且 $|\mathbf{a}|\ge 0$，$|\mathbf{a}|=0$ 当且仅当 $\mathbf{a}=\mathbf{0}$。数乘满足 $|\lambda\mathbf{a}|=|\lambda|\,|\mathbf{a}|$，模还满足三角不等式

非零向量 $\mathbf{a}$ 与 $x,y,z$ 轴正向的夹角 $\alpha,\beta,\gamma\in[0,\pi]$ 称为它的方向角，其余弦称为方向余弦：

三者满足

并且 $(\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma)$ 正是与 $\mathbf{a}$ 同向的单位向量 $\mathbf{e}_a$ 的坐标。

方向角量的是与三条坐标轴正向的夹角，不是与坐标轴所在直线的夹角，也不是与坐标平面的夹角。零向量没有方向，因此没有方向角。

设 $\theta$ 是非零向量 $\mathbf{a}$ 与 $\mathbf{b}$ 的夹角，则 $\mathbf{a}$ 在 $\mathbf{b}$ 方向上的投影是一个数

$\theta$ 为锐角时投影为正，为钝角时为负，$\theta=90^\circ$ 时投影为零。把投影乘上 $\mathbf{b}$ 方向的单位向量，得到投影向量

投影对第一个向量是线性的：

用数量积表示就是 $\operatorname{Prj}_{\mathbf b}\mathbf{a}=\mathbf{a}\cdot\mathbf{e}_b$，数量积的定义见数量积。

方向余弦的平方和

把三个方向余弦平方后相加，并代入它们的坐标表达式：

由模的坐标公式，分子等于 $|\mathbf{a}|^2$，所以

这个等式说明方向余弦不能随意给定：确定其中两个后，第三个的绝对值随之确定，符号仍要看向量的方向。它也说明单位向量的坐标就是一组方向余弦。