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知识点

空间曲线及其方程

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定义

一般方程

空间曲线 CC 通常看作两个曲面 S1S_1 与 S2S_2 的交线。设两曲面的方程分别为 F(x,y,z)=0F(x,y,z)=0 与 G(x,y,z)=0G(x,y,z)=0，则

{F(x,y,z)=0,G(x,y,z)=0\begin{cases} F(x,y,z)=0,\\ G(x,y,z)=0 \end{cases}

称为曲线 CC 的一般方程。点 (x,y,z)(x,y,z) 在 CC 上，当且仅当它同时满足这两个方程，即同时位于两个曲面上。

两个曲面不能重合，否则交集是曲面而不是曲线。一般方程也不唯一：过曲线 CC 的任意两个曲面都可以组成 CC 的一般方程，取不同的曲面会得到不同的写法。

参数方程

把曲线上点的坐标写成同一个参数 tt 的函数：

{x=x(t),y=y(t),z=z(t),t∈[α,β].\begin{cases} x=x(t),\\ y=y(t),\\ z=z(t), \end{cases} \quad t\in[\alpha,\beta].

tt 通常代表时间或角度，tt 取遍 [α,β][\alpha,\beta] 时点 (x(t),y(t),z(t))(x(t),y(t),z(t)) 描出整条曲线。参数方程给出了点的运动顺序，一般方程只给出点必须同时满足的条件。

两种方程描述同一条曲线。常见的曲线可以互化：从参数方程消去 tt 可得一般方程；从一般方程解出 x,y,zx,y,z 关于某个参数的表达式，可得参数方程。参数方程不唯一，同一曲线可以用不同的参数写出，参数区间的取法也会影响曲线被描出的次数。

性质

投影柱面与投影曲线

设空间曲线 CC 的一般方程为

{F(x,y,z)=0,G(x,y,z)=0.\begin{cases} F(x,y,z)=0,\\ G(x,y,z)=0 . \end{cases}

从方程组中消去 zz，得到只含 x,yx,y 的方程

H(x,y)=0.H(x,y)=0 .

CC 上每一点的坐标都满足 H(x,y)=0H(x,y)=0，而 H(x,y)=0H(x,y)=0 在空间中表示一个母线平行于 zz 轴的柱面，CC 整个落在这个柱面上。这个柱面称为 CC 关于 OxyOxy 面的投影柱面。

投影柱面与 OxyOxy 面的交线就是 CC 在 OxyOxy 面上的投影曲线，其方程为

{H(x,y)=0,z=0.\begin{cases} H(x,y)=0,\\ z=0 . \end{cases}

投影曲线只含 x,yx,y 两个变量，是一条平面曲线。同理，消去 yy 得到关于 OxzOxz 面的投影柱面，再与 y=0y=0 联立得到 OxzOxz 面上的投影曲线；消去 xx 则对应 OyzOyz 面。

求投影曲线的步骤：

  1. 写出曲线的方程

    一般方程或参数方程都可以；用参数方程时，后面消去的是参数 tt。

  2. 消去一个变量

    求 OxyOxy 面上的投影时消去 zz：把两个方程联立消去 zz，得到只含 x,yx,y 的方程 H(x,y)=0H(x,y)=0。

  3. 与投影面联立

    把 H(x,y)=0H(x,y)=0 与 z=0z=0 写在一起，才是投影曲线的方程。

  4. 回代检验范围

    把结果代回原方程，确认哪些部分真正属于 CC，并注明 x,yx,y 的取值范围。

这与曲面的截痕法方向相反：截痕法用平面去截已知曲面，投影则把空间曲线压到一个坐标面上。两种手段常常一起用，先用截痕判断曲线的大致形状，再用投影写出它在坐标面上的方程。

例子

螺旋线

一个点在圆柱面 x2+y2=a2x^2+y^2=a^2 上匀速旋转，同时沿 zz 轴方向匀速上升，其轨迹的参数方程为

{x=acos⁡θ,y=asin⁡θ,z=bθ,θ∈R,\begin{cases} x=a\cos\theta,\\ y=a\sin\theta,\\ z=b\theta, \end{cases} \quad \theta\in\mathbb{R},

其中 a>0a>0 是圆柱的半径，bb 决定上升的快慢。θ\theta 增加 2π2\pi 时点回到同一方位，zz 增加 2πb2\pi b，这就是旋转一周上升的高度，螺距为 2π∣b∣2\pi\vert b\vert。b>0b>0 时向上盘旋，b<0b<0 时向下，b=0b=0 时退化为圆 x2+y2=a2x^2+y^2=a^2、z=0z=0。

螺旋线在 OxyOxy 面上的投影柱面就是圆柱面 x2+y2=a2x^2+y^2=a^2，投影曲线是圆 x2+y2=a2x^2+y^2=a^2、z=0z=0；在 OxzOxz 面上的投影是正弦型曲线 x=acos⁡(z/b)x=a\cos(z/b)（b≠0b\ne 0）。

平面斜截圆柱面所得的曲线

研究由方程组

{x2+y2=1,z=x+y\begin{cases} x^2+y^2=1,\\ z=x+y \end{cases}

定义的曲线 CC。第一个方程是母线平行于 zz 轴的圆柱面，第二个方程是平面，CC 是平面与圆柱面的交线。

求它关于 OxyOxy 面的投影：两个方程中已经不含需要消去的变量，投影柱面就是圆柱面 x2+y2=1x^2+y^2=1，投影曲线为

{x2+y2=1,z=0,\begin{cases} x^2+y^2=1,\\ z=0, \end{cases}

即 OxyOxy 面上的单位圆。

曲线本身不是这个圆。把 CC 参数化可以看清这一点：

x=cos⁡t,y=sin⁡t,z=cos⁡t+sin⁡t.x=\cos t,\quad y=\sin t,\quad z=\cos t+\sin t .

tt 从 00 到 2π2\pi 时曲线闭合，而 z=cos⁡t+sin⁡tz=\cos t+\sin t 在 ±2\pm\sqrt2 之间变化，点一边绕圆一周一边上下移动，所以曲线是平面 z=x+yz=x+y 上的一条闭合曲线。

用截痕法看：用 z=z0z=z_0 去截，交点要同时满足 x+y=z0x+y=z_0 与 x2+y2=1x^2+y^2=1，只有 ∣z0∣≤2\vert z_0\vert\le\sqrt2 时才有交点，z0z_0 变化时交点沿圆移动。平面与圆柱的轴斜交，截口被拉长，所以这条曲线是椭圆，而不是圆。

探索

空间曲线如何投影到坐标平面？

查看螺旋线点及其在xy平面的投影。

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题集

练习

  1. 曲线 CC：x2+y2=1x^2+y^2=1 与 z=x+yz=x+y 的交线，关于 OxyOxy 面的投影柱面方程是：

    选择答案
    参考解答

    消去 zz 后得到 x2+y2=1x^2+y^2=1，这是母线平行 zz 轴的柱面，包含整条曲线。

  2. 同一曲线在 OxyOxy 面上的投影曲线方程是：

    选择答案
    参考解答

    投影曲线是投影柱面与 OxyOxy 面的交线，必须同时写出 x2+y2=1x^2+y^2=1 和 z=0z=0。

  3. 螺旋线 x=2cos⁡θx=2\cos\theta、y=2sin⁡θy=2\sin\theta、z=3θz=3\theta 旋转一周上升的高度是：

    选择答案
    参考解答

    θ\theta 增加 2π2\pi 时 zz 增加 3⋅2π=6π3\cdot 2\pi=6\pi，这就是旋转一周上升的高度。

  4. 要求曲线关于 OxzOxz 面的投影柱面，应从一般方程中消去哪个变量？

    选择答案
    参考解答

    关于 OxzOxz 面的投影柱面只含 x,zx,z，所以消去 yy；随后与 y=0y=0 联立得到投影曲线。

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