Learning Notes.
返回上级
知识点

空间直线及其方程

10 分钟阅读

定义

过一点并与一个非零向量平行的点的全体构成一条空间直线，这个非零向量称为直线的方向向量。方向向量只确定到相差一个非零倍数：把方向向量换成它的非零倍数，直线不变。

一般方程

两个不平行平面的交线是一条直线，所以空间直线可以写成

{A1x+B1y+C1z+D1=0,A2x+B2y+C2z+D2=0,\begin{cases} A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0,\\ A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0, \end{cases}

其中两平面的法向量 n1=(A1,B1,C1)\mathbf{n}_1=(A_1,B_1,C_1) 与 n2=(A2,B2,C2)\mathbf{n}_2=(A_2,B_2,C_2) 不平行。直线上的点同时在这两个平面上，所以直线的方向向量垂直于 n1\mathbf{n}_1 和 n2\mathbf{n}_2，可以取

s=n1×n2.\mathbf{s}=\mathbf{n}_1\times\mathbf{n}_2.

对称式方程

设直线过点 M0(x0,y0,z0)M_0(x_0,y_0,z_0)，方向向量为 s=(m,n,p)\mathbf{s}=(m,n,p)。点 M(x,y,z)M(x,y,z) 在该直线上，当且仅当 M0M→\overrightarrow{M_0M} 与 s\mathbf{s} 平行，即存在实数 λ\lambda 使 M0M→=λs\overrightarrow{M_0M}=\lambda\mathbf{s}。当 m,n,pm,n,p 都不为零时，把三个分量分别写成比例：

x−x0m=y−y0n=z−z0p.\frac{x-x_0}{m}=\frac{y-y_0}{n}=\frac{z-z_0}{p}.

这个形式称为对称式方程，也称点向式方程。三项相等，直接从方程就能读出直线经过的点 M0M_0 和方向向量 s\mathbf{s}。

参数方程

令对称式中的比值为 tt，得到参数方程

{x=x0+mt,y=y0+nt,z=z0+pt,t∈R.\begin{cases} x=x_0+mt,\\ y=y_0+nt,\\ z=z_0+pt, \end{cases} \qquad t\in\mathbb{R}.

参数 tt 的每个取值对应直线上的一点，tt 增大时点沿 s\mathbf{s} 的方向移动。求直线与平面的交点时，把参数方程代入平面方程解出 tt，比消元更快。

性质

两直线的夹角

设直线 L1L_1、L2L_2 的方向向量分别为 s1=(m1,n1,p1)\mathbf{s}_1=(m_1,n_1,p_1)、s2=(m2,n2,p2)\mathbf{s}_2=(m_2,n_2,p_2)。把两条直线平移到同一个公共起点后，它们的夹角等于方向向量的夹角或其补角，所以按锐角定义：

cos⁡φ=∣s1⋅s2∣∣s1∣ ∣s2∣=∣m1m2+n1n2+p1p2∣m12+n12+p12m22+n22+p22,φ∈[0,π2].\cos\varphi =\frac{\lvert \mathbf{s}_1\cdot\mathbf{s}_2\rvert}{\lvert \mathbf{s}_1\rvert\,\lvert \mathbf{s}_2\rvert} =\frac{\lvert m_1m_2+n_1n_2+p_1p_2\rvert} {\sqrt{m_1^2+n_1^2+p_1^2}\sqrt{m_2^2+n_2^2+p_2^2}}, \qquad \varphi\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right].
关系条件
平行（或重合）s1∥s2\mathbf{s}_1\parallel\mathbf{s}_2，即 s1×s2=0\mathbf{s}_1\times\mathbf{s}_2=\mathbf{0}
垂直s1⋅s2=0\mathbf{s}_1\cdot\mathbf{s}_2=0

直线与平面的夹角

设直线 LL 的方向向量为 s\mathbf{s}，平面 Π\Pi 的法向量为 n\mathbf{n}。直线与平面的夹角 ϕ\phi 定义为直线与它在平面上的投影的夹角，取 [0,π2]\left[0,\dfrac{\pi}{2}\right]。n\mathbf{n} 垂直于平面，它与 s\mathbf{s} 的夹角为 π2−ϕ\dfrac{\pi}{2}-\phi（或 π2+ϕ\dfrac{\pi}{2}+\phi），所以

sin⁡ϕ=∣n⋅s∣∣n∣ ∣s∣,ϕ∈[0,π2].\sin\phi=\frac{\lvert \mathbf{n}\cdot\mathbf{s}\rvert}{\lvert \mathbf{n}\rvert\,\lvert \mathbf{s}\rvert}, \qquad \phi\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right].

直线与平面的位置关系按方向向量与法向量的关系判断：

关系条件
直线在平面内n⋅s=0\mathbf{n}\cdot\mathbf{s}=0，且直线上一点在平面上
直线平行于平面n⋅s=0\mathbf{n}\cdot\mathbf{s}=0，且直线上一点不在平面上
直线垂直于平面n∥s\mathbf{n}\parallel\mathbf{s}，即 n×s=0\mathbf{n}\times\mathbf{s}=\mathbf{0}

例子

把一般方程化为对称式与参数方程

直线由平面 x+y+z−3=0x+y+z-3=0 与 x−y+2z−3=0x-y+2z-3=0 的交线给出。

先求方向向量。两平面的法向量为 n1=(1,1,1)\mathbf{n}_1=(1,1,1)、n2=(1,−1,2)\mathbf{n}_2=(1,-1,2)，所以

s=n1×n2=(3, −1, −2).\mathbf{s}=\mathbf{n}_1\times\mathbf{n}_2=(3,\ -1,\ -2).

再求直线上的一点。令 z=0z=0，两个平面方程化为 x+y=3x+y=3 与 x−y=3x-y=3，解得 x=3x=3、y=0y=0，得到点 M0(3,0,0)M_0(3,0,0)。

于是对称式为

x−33=y−1=z−2,\frac{x-3}{3}=\frac{y}{-1}=\frac{z}{-2},

令比值为 tt，得参数方程

{x=3+3t,y=−t,z=−2t.\begin{cases} x=3+3t,\\ y=-t,\\ z=-2t. \end{cases}

检验方向向量：s⋅n1=3−1−2=0\mathbf{s}\cdot\mathbf{n}_1=3-1-2=0，s⋅n2=3+1−4=0\mathbf{s}\cdot\mathbf{n}_2=3+1-4=0，它同时垂直于两个法向量。

用参数方程求直线与平面的交点

求直线 x−33=y−1=z−2\dfrac{x-3}{3}=\dfrac{y}{-1}=\dfrac{z}{-2} 与平面 2x−y+z=12x-y+z=1 的交点。

把参数方程代入平面方程：

2(3+3t)−(−t)+(−2t)=1,2(3+3t)-(-t)+(-2t)=1,

即 6+6t+t−2t=16+6t+t-2t=1，解得 t=−1t=-1。代回参数方程得 x=0x=0、y=1y=1、z=2z=2，交点为 (0,1,2)(0,1,2)。

直线与平面的夹角

直线过原点，方向向量为 s=(1,0,1)\mathbf{s}=(1,0,1)；平面 Π\Pi 的方程为 y+z=1y+z=1，法向量为 n=(0,1,1)\mathbf{n}=(0,1,1)。则

sin⁡ϕ=∣0+0+1∣2⋅2=12,\sin\phi=\frac{\lvert 0+0+1\rvert}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}=\frac{1}{2},

所以直线与平面的夹角为 ϕ=π6\phi=\dfrac{\pi}{6}。

求空间直线的方法

处理空间直线问题时，第一步通常是把一般方程化成对称式或参数方程。

  1. 化成可直接使用的形式

    一般方程便于与其它平面联立，对称式便于读出点和方向，参数方程便于代入求交点。先按后续要解决的问题选定形式。

  2. 求直线上的一点

    在一般方程中令某个坐标取定值（例如 x=0x=0 或 z=0z=0），解剩下的二元一次方程组。取定值时要确认方程组有解。

  3. 求方向向量

    取两个平面法向量的向量积 s=n1×n2\mathbf{s}=\mathbf{n}_1\times\mathbf{n}_2；已知直线上两点 M1M_1、M2M_2 时也可以取 s=M1M2→\mathbf{s}=\overrightarrow{M_1M_2}。

  4. 写出所需形式并检验

    用点和方向写对称式；需要求交点或距离时改写成参数方程，代入后再检验所得的点是否同时满足两个方程。

探索

直线上各点如何由参数表示？

改变参数，观察点与方向向量的关系。

正在准备演示…

题集

练习

  1. 直线由平面 x+y+z−1=0x+y+z-1=0 与 x−y+2z=0x-y+2z=0 的交线给出，它的一个方向向量是：

    选择答案
    参考解答

    方向向量取两个平面法向量的向量积：(1,1,1)×(1,−1,2)=(3,−1,−2)(1,1,1)\times(1,-1,2)=(3,-1,-2)。选项C、D分别是两个平面的法向量，它们垂直于直线，不是方向向量。

  2. 直线 x−12=y−1=z+23\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y}{-1}=\dfrac{z+2}{3} 与平面 2x−y+3z−6=02x-y+3z-6=0 的位置关系是：

    选择答案
    参考解答

    直线的方向向量为 (2,−1,3)(2,-1,3)，平面的法向量也是 (2,−1,3)(2,-1,3)，两者平行，所以直线垂直于平面。

  3. 直线方向向量 s\mathbf{s} 与平面法向量 n\mathbf{n} 满足 n⋅s=0\mathbf{n}\cdot\mathbf{s}=0，且直线不在该平面内，则直线与平面的夹角（用弧度表示）为 。

    参考解答

    由 sin⁡ϕ=∣n⋅s∣∣n∣∣s∣=0\sin\phi=\dfrac{\lvert \mathbf{n}\cdot\mathbf{s}\rvert}{\lvert \mathbf{n}\rvert\lvert \mathbf{s}\rvert}=0 得 ϕ=0\phi=0，即直线平行于平面。

  4. 直线 x−33=y−1=z−2\dfrac{x-3}{3}=\dfrac{y}{-1}=\dfrac{z}{-2} 的参数方程中取 t=−1t=-1，对应点的 yy 坐标是 。

    参考解答

    由 y−1=t\dfrac{y}{-1}=t 得 y=−ty=-t，代入 t=−1t=-1 得 y=1y=1。

本题集已答对 0 / 4 个可判分项